Mathe: Problem mit einem Beweis

Jester schrieb:

Ähm und wo ist der Beweis?

Du hast gezeigt, daß die Aussage entweder gilt oder nicht gilt. Nirgendwo findet auch nur die leisteste Benutzung einer Voraussetzung statt.

Eine Voraussetzung benötige ich doch aber eigentlich nur bei einem Beweis durch strukturelle Induktion. Für einen einfachen Prädikatenlogischen Vergleich ist das eigentlich nicht notwendig. Ich muss eigentlich nur beweisen, daß eine Aussage über mehrere Aussagen wahr ist, und das geht auch ganz gut ohne Vorraussetzung, indem man Äquivalente Meta-Aussagen beweist.

Jester schrieb:

Aber Du hast nicht gezeigt, daß immer wenn es Zahlen a,b,q€N gibt, so daß die Gleichung erfüllt ist, daß dann q auch wirklich Quadratzahl ist.
[...]

Gehen wir das ganze nochmal durch:
Wir haben zwei Aussagen (nennen wir sie mal A und B), wobei gilt "A impliziert B". Diese Aussage ist (AFAIK) äquivalent zu der Aussage "NICHT(A) ODER B", weil der einzige Fall, in dem die Implikation "falsch" wird der ist, daß A wahr ist und daraus etwas falsches, also "B=Falsch", folgert. Negiert man dieses, so erhält man die erwähnte Äquivalenz.

Wenn ich nun also zeigen kann, daß "NICHT(A) ODER B" eine Tautologie ist, also immer wahr ist, so ist auch die ursprüngliche Aussage tautologisch und somit bewiesen. Bis zu diesem Punkt - nehme ich an - sind wir uns einig, denn ich beweise ja damit, daß jede Zahl aus N, die Eingangsformel nicht erfüllt, oder eben quadratisch ist (unabhängig davon, ob sie die Eingangsformel erfüllt). Ist diese Aussage tautologisch, so müssen logischerweise auch alle Zahlen q quadratisch sein, die die Eingangsformel erfüllen.

Gruß Jens

benutzername

Behauptung (Y):

Nehmen wir mal an, die Behauptung sei falsch. Wo wuerde Dein Beweis kaputt gehen?
Aus etwas Falschem kannst Du immer etwas Richtiges folgern, wegen

Wir haben zwei Aussagen (nennen wir sie mal A und B), wobei gilt "A impliziert B". Diese Aussage ist (AFAIK) äquivalent zu der Aussage "NICHT(A) ODER B"

Sei nun A falsch. Was spricht dagegen, dass B nicht wahr sein soll. In Deinem Fall ist

Behauptung (Y)=A

und

Für alle a,b,c € N: X(a,b,c) oder NICHT(X(a,b,c)) = B.

benutzername

Ich habe mir erlaubt, das Ganze mal mit dem Exponenten n zu beweisen!

Sei Q(v) eine Relation des Inhalts:  
    Es exist. ein c € N: (v=c^n)  
    (entspricht "v ist quadratisch") 

Behauptung (Y): 

    Für alle a,b,q € N: (((a^n+b^n)=q(ab+1))->(Q(q))) 
<=> Für alle a,b,q € N: (((a^n+b^n)=q(ab+1))->(Es exist. c € N: q=c^n)) 
<=> Für alle a,b,q € N: (NICHT((a^n+b^n)=q(ab+1))  
                        ODER  
                        (Es exist. c € N: q=c^n)) 
<=> Für alle a,b € N:   (Es exist. c € N: (a^n+b^n)=c^n(ab+1)) 
                        ODER 
                        (Es exist. kein c € N: (a^n+b^n)=c^n(ab+1)) 

Sei X(a,b,c) im folgenden definiert als ((a^n+b^n)=c^n(ab+1)): 

Es gilt also 
    Für alle a,b € N:   (Es exist. c € N: X(a,b,c))  
                        ODER  
                        (Es exist. kein c € N: X(a,b,c)) 

Nach Definition des Existenzquantors gilt also 
    Für alle a,b,c € N: X(a,b,c) oder NICHT(X(a,b,c)) 
    <=> Wahr 
    <=> Tautologie 

Somit gilt Y als bewiesen.

Das ist nicht boese gemeint! Nur macht es klar, dass Du mit diesem Beweis alles beweisen kannst.

Jester

Für alle a,b,q € N: (NICHT((a^2+b2)=q(ab+1))
ODER
(Es exist. c € N: q=c^2))
<=> Für alle a,b € N: (Es exist. c € N: (a^2+b2)=c^2(ab+1))
ODER
(Es exist. kein c € N: (a^2+b2)=c^2(ab+1))

genau hier liegt übrigens der Fehler, diese Aussagen sind schlicht nicht äquivalent. Ich kann zum Beispiel a=3, b=5 und q=4 nehmen.
Dann ist a^2+b2=9+25 = 34 != 4*(3*5+1) = 48, denn ex. c mit c^2=4, nämlich 2.

WebFritzi

JensC schrieb:

Denke ich eigentlich nicht.

Dann denkst du falsch! Üb nochmal ein bißchen Logik, dann sehen wir weiter... Meine Äquivalenz ist richtig!

WebFritzi schrieb:

JensC schrieb:

Denke ich eigentlich nicht.

Dann denkst du falsch! Üb nochmal ein bißchen Logik, dann sehen wir weiter... Meine Äquivalenz ist richtig!

Autsch! Warum denn gleich so unfreundlich?

Ich sehe ja ein, daß ich im Bezug auf die Äquivalnezen daneben liege, meine aber eigentlich auch, daß in meinem ersten Posting durchaus erkenntlich war, daß es hauptsächlich als Diskussionsvorschlag gedacht war. Mir ist durchaus bewusst, daß ich mich mit formaler Logik nicht mehr wirklich auskenne - das ist alles schon wieder zu viele Jahre her.

Ich behaupte aber weiterhin, daß die grobe Richtung für einen Beweis der genannten Implikation funktionieren kann. Ich hab jetzt nicht grade nicht die Zeit (und das alte TheGI-Buch ) um mich da wieder rein zu friemeln, deshalb kann ich diese Behauptung leider nicht beweisen.

Gruß Jens

WebFritzi

Ne, war auch nicht so gemeint, wie du es aufgefasst hast.

JensC schrieb:

und das alte TheGI-Buch

Ahhh, THEGI??? Schrecklich! Das müssen wir jetzt im Nebenfach (Info) machen. Wir kotzen alle, weil das so schrecklich einfach ist.

WebFritzi schrieb:

[...] Wir kotzen alle, weil das so schrecklich einfach ist.

Das hab ich damals im ersten Semester auch noch gedacht. Im dirtten wurde es dann langsam wirklich niveauvoll und im vierten war's dann auf einmal richtig happig. Immer mit der Ruhe - das kommt schon noch!

Gruß Jens

Bitte entschuldigt meine grausame Rechtschreibung heute nacht

Gruß Jens

WebFritzi

JensC schrieb:

Immer mit der Ruhe - das kommt schon noch!

Das glaube ich nicht. Bisher haben mir alle Mathematiker, die damit in Berührung gekommen sind, gesagt, dass das immer so einfach weitergeht.

Jester

Mal zurück zum Satz:

Nützt es uns was, daß q = b² mod a und q = a² mod b ist?
Oder auch q = (a+b)² mod (a*b)?

Bin noch nicht wirklich damit weitergekommen.

@JensC:
Ich bezweifle stark, daß man nur mit Metaaussagen sowas beweisen kann. Irgendwo müssen ja auch die Voraussetzungen eingehen. Und das ist nunmal da nicht der Fall. Bzw. die Tautologie ist kein Stück einfacher zu beweisen, also zuvor.

MfG Jester