Beweis für Basis eines Vektorraums
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hallo,
mit welchem ansatz löst man folgende aufgabe?
(a1, a2, a3) ist eine basis des vektorraums V
zeige, dass auch (b1, b2, b3) eine basis von V ist:b1 = a1 + a2 + a3
b2 = a2 + a3
b3 = a3Berechne die koordinaten des vektors v = x1*a1 + x2*a2 + x3*a3 bezüglich der basis (b1, b2, b3)!
bin für jede hilfe dankbar!
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Schau mal nach, was die Eigenschaften einer Basis sind. Dann zeigst Du, dass unter der Vorraussetzung, dass (a1,a2,a3) eine Basis ist auch (b1,b2,b3) eine Basis ist. Mehr will ich nicht verraten.
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ist es so richtig?
a1, a2, a3 sind lin. unabh. wegen basis
also gilt
r1*a1 + r2*a2 + r3*a3 = onur für r1=r2=r3 = 0
zeigen, dass (b1, b2, b3) basis ist:
b1, b2, b3 sind lin. unabh.r1(a1+a2+a3) + r2(a2+a3) + r3(a3) = o
r1*a1 + (r1+r2)*a2 + (r1+r2+r3)*a3 = or1 = 0
r1+r2 = 0
r1+r2+r3 = 0lösung: r1=r2=r3 = 0
stimmt das?
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Fischer, Lineare Algebra:
Eine Familie B=(v_i)_{i \in I} in einem Vektorraum V heisst Erzeugendensystem, wenn jedes v \in V Linearkombination von endlich vielen v_i ist.
Eine Familie B=(v_i)_{i \in I} in V heisst Basis, wenn sie ein linear unabhaengiges Erzeugendensystem ist.Die eine Sache hast Du gezeig, aber es fehlt noch was... Viel Erfolg.
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was meinst du fehlt?
ich hab doch jetzt gezeigt dass (b1,b2,b3) eine basis ist.
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Nein, Du hast gezeigt, dass (b1,b2,b3) linear unabhaengig ist. Das ist notwendig, aber noch nicht hinreichend.
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(a1,a2,a3) ist eine basis von V
also hat V die dimension 3was soll ich denn noch zeigen?
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<nochmaledit>baeh... erst denken, dann schreiben. 3 unabhaengige Vektoren im dreidimensionalen Raum sind 'ne Basis, hast Recht. Trotzdem sollte man das erwaehnen</nochmaledit>
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O.K. Du hast recht. Ich war zu sehr auf die Def. fixiert.
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Um zu zeigen, daß die 3 ne Basis bilden genügt es übrigens auch die vorherige Basis aus der neuen zu basteln. Das geht hier recht leicht.
a1 = b1-b2
a2 = b2-b3
a3 = b3Damit ist die Basis im Erzeugnis enthalten und damit auch deren vollständiges Erzeugnis.