Problem mit Beweis!!!

[Mathematiker]

Hi!
Wir haben in der Schule folgenden Beweis durchgeführt:

x² = 2
Wir wollen beweisen,das diese Gleichung einen Bruch als Lösung hat.Der Beweis ist indirekt!

(p/q)2 = 2
p²/q = 2
p² = 2q²

Leider verstehe ich das nicht ganz!Könnt ihr mir mal erklären,wie das mit dieser Gleichung funktioniert,die man da aufgestellt hat?

[fubar]

Äh, ich denke, ihr wolltet zeigen, daß sqrt(2) irrational ist und habt dazu angenommen, daß sqrt(2) aus IQ ist (also darstellbar als x=p/q), um diese Annahme zum Widerspruch zu führen...

[Jester]

Der Beweis funktioniert zum Beispiel so:

Angenommen sqrt(2) \in Q => Es ex. p,q \in Z: p/q = sqrt(2) und weil man Brüche kürzen kann können wir annehmen, daß p,q teilerfremd sind. Sonst kürzen wir und nehmen die neuen Zahlen als p,q.

Dann kriegen wir:

(p/q)² = 2 p² = 2q² also 2 teilt p². Daraus folgt wegen 2 prim aber 2 teilt p. Das heißt, es ex. r \in Z: p=2r

Nochmal ansetzen mit p=2*r

(2r/q)² = 2 (Vor.) 4r² = 2q² 2r² = q², also 2 teilt q², damit wie vorhin 2 teilt auch q.

Damit teilt 2 sowohl p, als auch q. Das ist aber ein Widerspruch (p,q waren ja teilferfremd) und damit kann es solche Zahlen p,q nicht geben.

MfG Jester