Erzeugendessystem

[matheneuling]

Hallo!
wie bekomme ich das Erzeugendesystem von einen linearen Raum heraus? (Strategie)

danke

[Bashar]

Ein triviales Erzeugendensystem jedes beliebigen Vektorraums V ist V selbst. Hast du noch irgendwelche Zusatzbedingungen? Was sagt die Aufgabenstellung? Suchst du nicht vielleicht nach einer Basis?

[WebFritzi]

Hast du ein Skalarprodukt gegeben, dann benutze das Othonormalisierungsverfahren von Schmidt. So bekommst du sogar ein orthonormales Erzeugendensystem.

[Jester]

@Webfritzi: Dafür braucht man aber schon ein EZS oder besser ne Basis.

MfG Jester

[WebFritzi]

Jester schrieb:

@Webfritzi: Dafür braucht man aber schon ein EZS oder besser ne Basis.

Quatsch! Es reicht ein Vektor mit Norm 1.

[Jester]

Ähm und dann erzeugst Du aus dem nichts eine ONB? Du brauchst ein EZS. Gram-Schmidt orthonormalisiert Dir dieses, sonst nichts.

Vielleicht kannst Du mich auch mit folgendem Beispiel überzeugen:

V sei ein VR, <,> ein Skalarprodukt, x \in V und ||x|| = 1.
So, leg los. Wo ist die ONB?

[WebFritzi]

Du willst mir nicht glauben? Dann muss ich dir eben den Satz aus meinem LinAlg-Buch zitieren:

Orthonormalisierungssatz: Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer (bzw. unitärer) Vektorraum und $W\subset V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jede Orthonormalbasis (w\_1,\dots,w\_m) von $W$ zu einer Orthonormalbasis (w\_1,\dots,w\_m,w_{m+1},\dots,w_n) von $V$ ergänzen.

[Jester]

Das ist doch ein reiner Existenzsatz, dem Frager hier geht es aber darum ein EZS eines Vektorraums zu bestimmen. Da nützt so ein Existenzsatz wenig, man braucht ne Methode und Gram-Schmidt ist nunmal definitiv keine Methode um ein EZS zu finden, sondern nur um eines zu orthonormalisieren.

[WebFritzi]

Jester schrieb:

Das ist doch ein reiner Existenzsatz

Nö! Im Beweis des Satzes wird das Verfahren explizit durchgeführt:

Beweis: Ist $W = V$, so sind wir schon fertig. Andernfalls gibt es ein $v\in V$ mit $v\notin W$. Wir definieren
\widetilde v := \langle w\_1,v\rangle w\_1 + \dots + \langle w\_m,v\rangle w\_m
als die senkrechte Projektion von $v$ auf $W$. Dann ist
w := v - \widetilde v \in W^\bot,
denn für k = 1,\dots,m gilt
\langle w\_k,w \rangle = \langle w\_k,v \rangle - \langle w\_k,\widetilde v\rangle = \langle w\_k,v\rangle - \langle w\_k,v\rangle \langle w\_k,w_k\rangle = 0
wegen $\langle w\_k,w\_k \rangle = \|w_k\|^2 = 1$.
Da $v\notin W$, ist v\ne\widetilde v, also $w\ne 0$. Nun braucht man $w$ nur noch zu normieren:
$w_{m+1} := \frac{w}{\|w\|}$.
(w\_1,\dots,w\_{m+1}) ist dann eine orthonormale Familie. Wenn man das Verfahren oft genug wiederholt, erhält man schließlich die gesuchte Basis (w\_1,\dots,w\_n).

Natürlich braucht man in jedem Schritt einen Vektor $v\notin W$. Einen solchen kann man aber über den Basisergänzungssatz finden. Zufrieden?

[Jester]

Im Prinzip schon, das einzige worauf ich hineweisen wollte ist folgendes:

Du fährst hier Gram-Schmidt (Plasmakanone) auf, um eine Basis zu finden (Spatz erschießen), wo es der Basisergänzungssatz (normales Gewehr) genauso getan hätte.

MfG Jester

[WebFritzi]

Red du nur... Du hattest unrecht. *g*