Aussagenlogik

RPD

Hallo,

vielleicht hat jemand lust mir beim lösen folgender aufgabe zu helfen:
Tragen Sie zwischen die Formeln G1 und G2 die Zeichen
->, <-, <-> oder - ein, je nachdem ob G1->G2, G2->G1 oder G1<->G2 allgemeingültig ist oder nichts von allem gilt.

Legende:
_ = "inklusives ODER"
^ = "und"
~ = "nicht"

Aufgaben:
G1: (A_B)^~A
G2: B

G1: (A->B)->(_B->A)
G2: D_(E^F)_~D

G1: _{(A->B)_}(B->A)
G2: ~(A<->B)

G1: (A_B)^A
G2: A

G1: A->(B^~C)
G2: (A->B)^(~A->C)

meine lösungsvorschläge:

<->
<->
<->
<->

wobei ich mir überhauptnicht sicher bin
wäre toll wenn mir das jemand lösen und erklären könnte...

Jester

Naja, da muß man halt mal ein bissel rechnen:

erste Aufgabe:

G1= (A oder und nicht A, wenn ich das richtig sehe.
"ausmultiplizieren mit dem und liefert:

G1= (A und nicht A) oder (B und nicht A), das erste ist wohl falsch, also bleibt

G1= B und nicht A
G2= B

daraus sieht man, wenn G1 wahr ist, dann muß auch B wahr sein und damit G2, also G2 -> G1
Ist hingegen G2 wahr, so auch B, aber da A auch noch wahr sein kann ergibt sich für G1 = wahr und nicht wahr = wahr und falsch = falsch in diesem Fall.
Also folgt aus G2 nicht G1, damit ist es keine Äquivalenz, sondern nur eine Implikation.

Den Rest kriegst Du sicher leicht selber nachgerechnet.
Beachte: a->b ist äquivalent zu (~a)_b in Deiner Notation.

MfG Jester

Jester

Achja, ich rate mal noch schnell die anderen Lösungen, nicht wirklich nachgerechnet, aber ich denke den ein oder anderen Treffer werde ich landen

-> wie gehabt
<->
<->
kann ich nicht vernünftig raten und zum Rechnen wie gesagt... vielleicht später oder morgen oder so.

MfG Jester

RPD

mist, doch rechnen
danke erstmal, ich glaub das krieg ich hin...aber erst morgen

RPD

hab doch noch was gemacht:
zu 1) is klar volle zustimmung! ->
zu 3) und 4) jo, seh ich auch so <->

aber 2) ist meiner meinung nach auch <->
weil ich hab folgenden schlauen satz gefunden:

Es ist in der Logik auch erlaubt, Aussagen miteinander zu verknüpfen, die inhaltlich nichts miteinander zu tun haben, wenn sie nur jede für sich genommen einen Wahrheitswert besitzen.

ein bischen umgeformt (hoffe das stimmt):
(A__{B)_(B_}A) <-> 1_(E^F)

kann man dann doch sagen, oder???

WebFritzi

RPD schrieb:

(A__{B)_(B_}A) <-> 1_(E^F)

kann man dann doch sagen, oder???

Sagen kannst du das. Aber ob das Sinn macht...? Das ist ein Ausdruck, mehr nicht. So wie 1+√3. Willst du allerdings damit sagen, dass die beiden Formeln links und rechts von <-> äquivalent sind, so hast du dich getäuscht.

Jester

Jo stimmt... da war ich gestern zu schnell. *G*

@Webfritzi:
Naja, Aussagenlogisch äquivalent sind sie schon. Beide sind Tautologien und 1<->1 klingt vernünftig. Und innerhalb der Aussagenlogik macht es auch Sinn.
MfG Jester

RPD

ok, dann bin ich beruhigt...
mich tät noch interessieren ob ich die umformung von aufgabe 3) richtig
gemacht hab:

G1:
_{(A->B)_}(B->A) =
₍A_B)_₍B_A) =
(A__{B)_(B_}A)

G2:
~(A<->B) =
~((A->B)^(B->A)) =
₍₍A_B)^(~B_A)) =
(A__{B)_(B_}A) <--- hier muss ich dann doch das mittlere 'und' gegen ein 'oder' ersetzen, oder??

also: G1 <-> G2

stimmt das so?

ps: ach ja, und 4) ist -
_{A_(B^}C) - (~A_B)^(A_C)

kann ja nie war sein, wegen dem A und ~A, seh ich das richtig?

Jester

Nein, Deine Umformungen gehe nicht auf:

~(A_B) ≠ _{A_}B, das kann man nicht einfach reinziehen. Für die Negation von Konjunktionen und Disjunktionen gibt es die deMorgan-Regeln:

~(A_B) = _A^B
~(A^B) = _{A_}B

also Zeich in der mitte rumdrehen und die Beiden Operanden negieren.

Ja, 4) ist scheinbar auch -. Ganz sicher kannst Du gehen, indem Du eine Wertetabelle machst, sind ja nur 8 Werte.

Paß aber auf mit den Sachen wie wegen A und ~A

(A_B)^(~A_C) hat auch A,~A trotzdem kann es wahr werden. Zum Beispiel A=1, B=bel. C=1 liefert wahr.

MfG Jester

RPD

danke, alles klar.
3) ist also (A^~B)_(B_A)<->(A^B)_(B^~A)