reflexivität und partielle funktion

[mathik]

Hallo leute,

ich habe da mal ein kleines problem.

sei f: A → |N eine partielle Funktion und
R = {(a,b) element A x A | f(a)≤f(b) }

wie zeige ich jetzt, dass R reflexiv ist?

was mir nicht klar ist:
die Reflexivität ist so definiert:
Für alle a aus A gilt: (a,a) in R

f ist allerdings nicht für alle a definiert.
oder ist dieser beweis-weg trotzdem richtig:

sei a element A beliebig
=> da f(a)=f(a) gilt: f(a)≤f(a)
=> (a,a) in R

dieses f(a)≤f(a) stört mich, denn was ist, wenn f(a) undefiniert ist?

oder ist dann R eine Relation auf dem Definitionsbereich von f und nicht auf A?

danke!

Gruß mathik

[Jester]

Nun, ich würde sagen Dein Einwand ist völlig berechtigt. Die Definition ist kaputt bzw. garkeine Definition.
Eine Lösungsmöglichkeit wäre die Menge so einzuschränken, daß sie teilmenge von DxD ist, wobei D Definitionsbereich von f ist. Aber das ist natürlich eine Änderung an der Aufgabenstellung.

MfG Jester

[mathik]

Jester schrieb:

Nun, ich würde sagen Dein Einwand ist völlig berechtigt. Die Definition ist kaputt bzw. garkeine Definition.
Eine Lösungsmöglichkeit wäre die Menge so einzuschränken, daß sie teilmenge von DxD ist, wobei D Definitionsbereich von f ist. Aber das ist natürlich eine Änderung an der Aufgabenstellung.

MfG Jester

hallo Jester,

das problem ist, dass wir die Reflexivitär folgendermaßen definiert haben:
R Teilmenge von A x A.

Reflexivität:
für alle a aus A gilt: (a,a) in R

diese definition finde ich auch in den lehrbüchern.

die obige Relation wird allerdings durch die partielle funktion f definiert.

wir schreiben ja montag eine klausur und unser prof ist nicht zu erreichen...
und diese aufgabe hatte er in der klausur vom letzten semester gestellt.

Gruß mathik

[Jester]

Wie ist denn partielle Funktion definiert?

Die Definition von Reflexivität ist korrekt, das Problem liegt an der Menge. Schon dort werden ja zur Definition undefinierte Ausdrücke verwendet.

MfG Jester

[mathik]

Jester schrieb:

Wie ist denn partielle Funktion definiert?

MfG Jester

so:
D = Definitionsbereich von f
W = Wertebereich von f

für alle a aus D und b₁, b₂ aus W: (a, b₁) in f und (a, b₂) in f => b₁ = b₂

[Jester]

Hm, das macht's leider nicht besser. Ich fürchte die oben angegeben Menge R ist schlicht nicht wohldefiniert.

MfG Jester

[mathik]

Jester schrieb:

Hm, das macht's leider nicht besser. Ich fürchte die oben angegeben Menge R ist schlicht nicht wohldefiniert.

MfG Jester

hab nochmal eine kurze frage:

wenn f injektiv und total ist, dann ist R eine totale Ordnung, oder?

danke!

Gruß mathik

PS: definition von totaler ordnung:
für alle a,b element A : (a,b) in R ODER (b,a) in R

[Jester]

Ich denke eigentlich nicht. Total heißt ja nur, daß für jeden Wert der Funktionswert defininifert ist. Und injektiv heißt: für keine zwei Zahlen den gleichem Funktioneswert. Zum Beispiel die Teilbarkeitsfunktion scheint das zu misachten. x teilt n ist nicht total... aber die Teilbarkeitsfunktion, die jedem Element aus N zuordnet alle Elemente aus N, die Vielfache sind ist injektiv + total. Dennoch liefert die Teilbarkeit keine Totalordnung.

MfG Jester

[mathik]

Jester schrieb:

Ich denke eigentlich nicht. Total heißt ja nur, daß für jeden Wert der Funktionswert defininifert ist. Und injektiv heißt: für keine zwei Zahlen den gleichem Funktioneswert. Zum Beispiel die Teilbarkeitsfunktion scheint das zu misachten. x teilt n ist nicht total... aber die Teilbarkeitsfunktion, die jedem Element aus N zuordnet alle Elemente aus N, die Vielfache sind ist injektiv + total. Dennoch liefert die Teilbarkeit keine Totalordnung.

MfG Jester

vielen dank für deine hilfe bis jetzt...

aber irgendwie verstehe ich das nicht. wie ist denn diese teilbarkeitsfunktion definiert? ich kenne nur eine teilbarkeitsrelation... und die ist eine partielle ordnung...

aber was ist denn an diesem beweisweg falsch?
sei A beliebige Menge und |N = Menge der natürlichen Zahlen und f: A -> |N eine totale und injektive funktion
und R = {(a,b) element A x A | f(a)≤f(b) }

ich habe gezeigt, dass R eine partielle ordnung ist (also reflexiv., antisymmetrisch, und transitiv)

jetzt zeige ich dass R totale Ordnung ist:
Sei a,b element A
=> f(a) ≤ f(b) ODER f(b) ≤ f(a)
=> (a,b) in R ODER (b,a) in R

was mache ich hier falsch?

oder anders gefragt: welche eigenschaft muss denn f haben, damit R eine totale Ordnung ist?

danke!

Gruß mathik

[mathik]

"push"

[Jester]

Ja, Du hast recht, ich hab mich da irgendwo verrannt, Dein Beweis ist vollkommen korrekt und Teilbarkeit ist natürlich nur ne Relation.

[mathik]

ich danke dir!

jetzt gehts in die klausur....

Gruß mathik

[Jester]

Viel Erfolg!
Hoffe es hat geklappt.