4. Knifflige Grenzwertaufgabe

Knifflige Grenzwertaufgabe

  • ?

    Tach Leutz,
    ich häng grad an ner kniffligen Grenzwertaufgabe. Sie lautet:

    Für welche q ELEMENT R konvergieren die nachstehenden Folgen gegen 0?
    (i) an = q^n * n^k
    (ii) bn = q^n / n!

    Zu (i) fällt mir ausser q = 0 keine vernünftige Lösung ein. Bei (ii) habe ich mir überlegt, dass ich rausfinden müsste was schneller wächst. Aber es gibt ja kein q das in Frage kommen würde bei n->unendlich. Mir fällt da nur q = unendlich ein. Aber das ist ja keine Lösung. L#Hospital etc. dürfen wir nicht verwenden.

    Vielen Lieben dank für Tips

    Tobias

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  • C
    Mod

    maple sagt zu (ii), das q völlig egal ist. n! wächst schneller als jede Exponentialfunktion.
    Na gut, das ist kein Beweis... 🙄

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  • W

    Zu (i): Was ist k?
    Zu (ii): Es gilt b_n=q⋅qn−1n⋅(n−1)!=qn⋅b_n−1b\_n = \frac{q\cdot q^{n-1}}{n\cdot(n-1)!} = \frac{q}{n}\cdot b\_{n-1}. Ab n≥q ist (bn) monoton fallend, da b_n=qn⋅b_n−1≤bn−1b\_n = \frac{q}{n}\cdot b\_{n-1} \le b_{n-1}. Da (bn) weiterhin nach unten durch Null beschränkt ist, ist (bn) konvergent. Der Grenzwert sei b. Dann folgt b=limn→∞qn⋅b=0b = \lim_{n\to\infty}\frac{q}{n} \cdot b = 0.

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  • A

    zu (i): q^n konvergiert für |q| < 1 gegen 0, und für |q| < 1 gilt, dass q^n schneller fällt, als n^k wächst ==> für |q|<1 konvergiert a_n, für |q|>=1 divergiert a_n

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