x^0 = 1 Wieso?

[Mis2com]

Hallo,

ist das wirklich nur definiert, oder auch irgendwie bewiesen?

Und wie ist eine Potenz allgemein definiert:

a) x^n = x * x * x ... * x
b) exp(ln(x)*n)

MfG MAV

[Walli]

Ich glaub das ist einfach so definiert...
http://www.math.toronto.edu/mathnet/plain/questionCorner/powerof0.html

[Walli]

Zu 2: http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)

[Christoph]

Hmmm... Da (wikipedia) steht:

nicht ganzahlige Exponenten

Sind n und m ganze Zahlen (n ≠ 0), sowie a eine positive, reelle Zahl, dann gilt:
\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

Die ganzen Potenzgesetze gelten also nur für rationale Zahlen.

Wie ist dann $x^{\sqrt{2}}$ definiert?

[Mis2com]

Nur für rationale oder für reelle zahlen? oO

[Christoph]

Ich habe "rationale Zahlen" geschrieben, weil in der Wikipedia nichts anderes steht.

In der Schule gehen wir davon aus, dass es auch für reelle Zahlen gilt.

Was stimmt also?

p.s.:
Ich gehe davon aus, dass es auch für reelle Zahlen gilt. Sonst wäre das ja schon etwas seltsam.

[leuchtturm]

Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus kann man allgemeinere exponentielle Funktionen (reelle Potenzen) definieren:

ax = exp(ln(a) x)

für alle a > 0 und alle reellen x

http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

HTH

[lustig]

Man kann sehr einfach beweisen dass x⁰=1 ist. Laut den Potenzregeln gilt aⁿ/a^m=a^(n-m). Wenn man nun umformt ergibt sich:
1=aⁿ/aⁿ=a^(n-n)=a⁰, also a⁰=1.

[Mis2com]

Interessant, die Potenzregel kannte ich garnicht...
Dann ist das natürlich klar