sinus mit taylor reihe. wie kann man das herleiten / beweisen / begründen

Dein-Zahnarzt

also ich hab vor ner weile mit assembler angefangen und wollte ein prog zur berechnung des sinus von X basteln. so hab ich von der taylor reihe erfahren.

ich glaub die ging etwa so:
E (von 1 bis beliebig) von (-1)^(n-1)*(X(2n-1))/((2n-1)!) = sinX
also: sinX = X - X^3/(3!) + X^5/(5!) -X^7/(7!) ...

ich weis jetzt zwar wie ich sie bilde, allerdings würd ich gerne auch verstehen warum diese reihe den sinus ergibt.

falls da draußen jemand ist der das anschaulich erklären kann, bitte tu es!
danke.

noch was: mit den FPU befehlen geht das ja noch schneller.
wie arbeitet dieser algorithmus?

Jester

Diese Reihe ist der Sinus, weil der Sinus so definiert ist.

Klingelmann

fragt sich nur warum, das was man für gewöhnlich unter dem sinus versteht mit dieser definition übereinstimmt
das kann ich dir aber leider auch (noch) nicht erklären

Jester

Es gibt bestimmte Rechenregeln, die nur Sinus/Cosinus einhalten (Additionstheoreme etc.). Man kann also zeigen, daß nur sin/cos diese Regeln erfüllen.
Und weil obige Funktion die Regeln auch erfüllt ist sie eben der sin.

MfG Jester

Bashar

Nachdem Jester den mathematisch exakten Weg abgedeckt hat versuch ichs mal mit der Anschaulichkeit: Der Grundgedanke bei der Taylor-Reihe ist, eine Funktion in der Umgebung eines Punktes durch ein Polynom anzunähern, hier in der Umgebung von x=0.
Nun haben Polynome die Eigenschaft, dass man sie vollständig rekonstruieren kann, wenn man die Werte aller Ableitungen an einem Punkt kennt. Nehmen wir z.B. P(x) = 7x^4 + 2x^3 - 2 x^2 + x - 5. Wenn wir das jetzt immer wieder nach x ableiten, ergeben sich folgende Werte an der Stelle x=0: P(0) = -5 ("nullte" Ableitung), P'(0) = 1, P''(0) = -2 * 2 = -4, P'''(0) = 2 * 3 * 2 = 12, P''''(0) = 7 * 4 * 3 * 2 = 168, alle weiteren Ableitungen sind 0. Anscheinend ergibt sich der Wert für die n-te Ableitung jeweils aus dem Koeffizienten a_n mal der Fakultät von n, umgekehrt könnte man daraus also wieder das Polynom herstellen. Witzigerweise funktioniert das nicht nur für Polynome. Wenn wir uns die Ableitungen der Sinus-Funktion anschauen, dann haben wir ein periodisches Muster. Die erste Ableitung ist cos(x), die zweite -sin(x), die dritte -cos(x), und dann wieder sin(x), womit alles von vorne losgeht. Die jeweiligen Werte an der Stelle 0 sind also 1, 0, -1, 0, und wieder von vorn. Tun wir jetzt so, als hätten wir ein Polynom vor uns, und rekonstruieren wir die Koeffizienten (indem wir jeweils durch n! dividieren):
P(x) = 0 + x*1/1! + x^2*0/2! - x^3*1/3! - x^4*0/4! + x^5*1/5! + x^6*0/6! - x^7*1/7! ...
also P(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! ...

Dieses P(x) ist gleich sin(x), und das ist die Stelle, an der sich der E-Techniker in mir damit zufriedengibt Normalerweise müsste man noch beweisen, dass das so ist, und dass die Reihe konvergiert, und die Grenzen ausloten ...
Damit der Sinus auch mit komplexen Zahlen funktioniert, definiert man ihn jetzt kurzerhand über diese Formel.

Mis2com

Nun haben Polynome die Eigenschaft, dass man sie vollständig rekonstruieren kann, wenn man die Werte aller Ableitungen an einem Punkt kennt. Nehmen wir z.B. P(x) = 7x^4 + 2x^3 - 2 x^2 + x - 5. Wenn wir das jetzt immer wieder nach x ableiten, ergeben sich folgende Werte an der Stelle x=0: P(0) = -5 ("nullte" Ableitung), P'(0) = 1, P''(0) = -2 * 2 = -4, P'''(0) = 2 * 3 * 2 = 12, P''''(0) = 7 * 4 * 3 * 2 = 168, alle weiteren Ableitungen sind 0. Anscheinend ergibt sich der Wert für die n-te Ableitung jeweils aus dem Koeffizienten an

Na, also bei mir scheint das nicht so an, was ist denn bitte a?
Und ein Koeffizient...? ^^ Das ist mir auch nicht klar.

Ich finde es aber trotzdem komisch, der Sinus ist das Verhältnis... warum stimmt das mit der Tayolrreihe überein? Wurde eine Definition für Sinus gesucht und die Taylorreihe gefunden?
Wurden Sinus und die Taylorreihe unabhängig voneinander ,,gefunden''?
Und wenn nach einer mathematischen Herleitung gesucht wurde und für Sinus dann Taylorreihe gefunden wurde, wieso ist das dann bitte die Taylorreihe und wird nicht einfach nur Sinus genannt?

MfG MAV

asmodis

Man kann diese Potenzreihendarstellung auch anders herleiten. Man verwendet dazu die deMoivre Formeln.
Das sieht dann so aus:

\sin{(x)}=\sin{\left(n \cdot \frac{x}{n}\right)}=\sum_{j=0}^{n}{(-1)^{j}{n\choose{2j+1}}\sin^{2j+1}{\left(\frac{x}{n}\right)}\cdot \cos^{n-(2j+1)}{\left(\frac{x}{n}\right)}

Man bildet nun termweise den Grenzwert und verwendet dabei:
\lim_{n \rightarrow \infty}{cos^n{\left(\frac{x}{n}\right)}=1
$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1$

Man erhält:
\lim_{n \rightarrow \infty}{\sin{(x)}=\sin{(x)}=\sum_{j=0}^{\infty}{\lim_{n \rightarrow \infty}{(-1)^{j}{n\choose{2j+1}}\sin^{2j+1}{\left(\frac{x}{n}\right)}\cdot \cos^{n-(2j+1)}{\left(\frac{x}{n}\right)}

$=\sum_{j=0}^{\infty}{(-1)^j \frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!}}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-+...$

WebFritzi

Jester schrieb:

Diese Reihe ist der Sinus, weil der Sinus so definiert ist.

Muss nicht. Man kann den Sinus auch über exp() definieren. Aber das weißt du sicherlich selber. Wenn man so auch den Cosinus definiert, kommt man auf die allgemein bekannten Ableitungsregeln für diese Funktionen und kann die Taylorreihe bzw. die Taylorpolynome bilden. Jetzt ergibt sich die Frage nach dem Rest - also nach der Differenz von wirklichem Funktionswert und Taylorpolynom. Ein Satz aus der Analysis besagt, dass man diesen für das n-te Taylorpolynom in der folgenden Form darstellen kann:

$R\_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x\_0)^{n+1}$

mit einem $\xi\in(x,x_0)$ . Dabei ist x₀ der Entwicklungspunkt. Nun wissen wir aber, dass jegliche Ableitungen des Sinus, betraglich gesehen, entweder Sinus oder Cosinus sind. Diese Funktionen sind durch 1 beschränkt. Es ergibt sich also für den Fehler:

$|R\_n(x)| \le \frac{(x-x\_0)^{n+1}}{(n+1)!}$

Für festes x ist x-x₀ eine Konstante, und wir hatten gerade kürzlich in einem Thread gezeigt, dass eine Folge von obiger Form gegen 0 geht. Der Fehler geht also für wachsendes n gegen Null, und somit konvergiert die Taylorreihe punktweise gegen den Sinus.