wie ist die linearität einer funktion definiert?

[Bashar]

Das Thema hatten wir schonmal (wenn auch nicht explizit und nur versteckt): Es gibt tatsächlich beide Definitionen, leider widersprüchlich. Man könnte ja mal forschen woher das kommt ...

[Jester]

Naja, das ist so fest nicht definiert bzw. es gibt zwei Sorten von Linearität. In der Schule lern man ja lineare Funktionen kennen, die sind von der Form y=m*x+c und gehen nicht zwangsläufig durch den Ursprung, steigen aber nur linear an. Man könnte auch sagen: Die Ableitung ist konstant.

Dann gibt es die zweite Möglichkeit zu sagen wann eine Funktion linear ist, nämlich dann, wenn sie die Rechenoperation (Verknüpfungen) respektiert.

Bei einer Vektorraumabbildung heißt das zum Beispiel:

f linear <=> f(x+y) = f(x) + f(y) und f(r*x) = r*f(x), wobei x,y Vektoren und r ein Skalar ist.

Allgemein heißt sowas Homomorphismus, im Zusammenhang mit Vektorräumen spricht man auch von linearen Abbildungen.

Und jetzt kommt die Crux an der Sache:

Lineare Funktion (y=m*x+c) sind nur dann im Sinne der zweiten Definition linear, wenn c=0:

f(x) = m*x+c, f(a+b) =a*x+bx + c
f(a)+f(b) = a*x+c + b*x+c = a*x + b*x +2c und das soll jetzt gleich sein, also
c=2c => c=0.

Welche Definition man jetzt verwendet muß man sich halt überlegen. Hängt auch sehr stark von der Anwendung ab, die beiden besitzen nämlich recht unterschiedliche Theorien (sofern man bei y=m*x+c von ner Theorie sprechen kann), die einem halt Aussagen liefern.

MfG Jester

[Winn]

Moin Michel,

eine Funktion ist dann linear, wenn sie stetig und differenzierbar ist. Was der eine von den beiden Docs wahrscheinlich meinte, als er sagte: Ein Funktion ist linear, wenn sie durch den Ursprung geht... das sie vielleicht "kausal" sein soll, d.h. ein System (z.B. Übertragungssystem) darf nur für t>0 ungleich Null sein, welches wichtig ist für Regelkreise ist. Stichwort: LTI Systeme (Linear zeininvariante Systeme)

Gruß Winn

Lineare Funktion -> http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion
Lineare Abbildung -> http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

[Bashar]

Winn schrieb:

eine Funktion ist dann linear, wenn sie stetig und differenzierbar ist.

Das ist mit Sicherheit falsch. f(x) = x^2 ist mit Sicherheit nicht linear. Die beiden Links, die du zitierst, widersprechen dir auch.

[Jester]

Wer von Euch unterscheidet eigentlich zwischen den Begriffen Abbildung und Funktion? Ich dachte die seien äquivalent.

[Taurin]

Mir hat mal ein Dozent erklärt, es wäre "unsauber", Funktionen wie y=mx+c linear zu nennen.
Streng genommen hießen solche (mit c auch ungleich null) affin-linear. Das wär bloß zu umständlich
beim reden, deswegen falle das affin meistens unter den Tisch. Was eine lineare Abbildung ist, s. Jester.

[WebFritzi]

Jester schrieb:

Wer von Euch unterscheidet eigentlich zwischen den Begriffen Abbildung und Funktion? Ich dachte die seien äquivalent.

Naja, das ist auch wieder Definitionssache. In meinem Analysis-Buch wird z.B. zwischen Funktionen und Abbildungen unterschieden. Der Bildbereich von Funktionen liegt in einem Körper (|R oder |C) - der von Abbildungen liegt in einem Vektorraum (oder topologischen Raum). Ich denke, man kann das alles sehen wie man will. Hauptsache, man macht dem Leser klar, was gemeint ist.

[SG1]

WebFritzi schrieb:

In meinem Analysis-Buch wird z.B. zwischen Funktionen und Abbildungen unterschieden. Der Bildbereich von Funktionen liegt in einem Körper (|R oder |C) - der von Abbildungen liegt in einem Vektorraum (oder topologischen Raum).

Was waere dann $id \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, x \mapsto x$? Klar sind jedem Autor seine Definitionen freigestellt, aber dass das keine Funktion sein soll, find ich doch zumindest gewoehnungsbeduerftig.

<edit>Typo korrigiert</edit>

[Winn]

Bashar schrieb:

Winn schrieb:

eine Funktion ist dann linear, wenn sie stetig und differenzierbar ist.

Das ist mit Sicherheit falsch. f(x) = x^2 ist mit Sicherheit nicht linear. Die beiden Links, die du zitierst, widersprechen dir auch.

Sei f(x)=x^2, dann ist
x*f(x)=x^3 und f(x*x)=(x*x)^2=(x2)^2=x4 -> also ungleich
damit ist x^2 keine Lineare Abbildung, obwohl sie stetig und differenzierbar ist... hast also Recht...

den obigen Satz hab ich nur von Wikipedia übernommen, denn in http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion steht ganz unten

Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

aber der Umkehrschluß gilt nicht, welcher mir zum Verhängnis wurde, ergo lag ich falsch... studiere ja auch kein Mathe, gg

[WebFritzi]

SG1 schrieb:

Was waere dann $id \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, x \mapsto x$? Klar sind jedem Autor seine Definitionen freigestellt, aber dass das keine Funktion sein soll, find ich doch zumindest gewoehnungsbeduerftig.

In dem Buch werden auch natürlich auch nur Abbildungen betrachtet, die von |R^n nach |R^m gehen. Dabei heißt eine solche dann "Funktion", wenn m=1 ist. OK?