Exponentialfunktion... Wozu? oO

Griffin

f(x)=e^x
f'(x)=e^x*ln e was e^x*1 entspricht.

ansonsten
f(x)=a^x (a!=1;a € |R; a>0)
f'(x)=a^x*ln a

Christoph

Mis2com schrieb:

f(x) = e^x
f(x)'= x*e^(x-1)

ist ja anscheinend falsch...

Ist es nicht, wenn du anstelle f(x) f(e) schreibst. Diese Regel zum Ableiten gilt nur bei konstantem Exponenten.

Taurin

Man kann f: x -> e^x auch als Reihe darstellen
f: x -> [summe k = 0 bis undenlich(x^k / k!)]
Darauf kannst du die "normalen" Ableitungsregeln anwenden. Versuchs mal

Mis2com

f: x -> [summe k = 0 bis undenlich(x^k / k!)]

$f: x \rightarrow \sum_{k = 0}^{\infty}{x^k \over k!}$

So?
Aber leider weiß ich nicht, wie man in sowas ableiten soll.

Griffin

Ich hab da noch eine Art Beweis mit Differenzenquotient, Differenzialquotient und Grenzwertübergang. Wenn du den mal sehen willst würd ich den nachher mal posten.
Aber erstmal Kevin allein zu Haus schauen

lustig

Hier mal ein (dummes) Beispiel wo man die Eulerfunktion brauchen kann:
Du hast Geld bei der Bank. Sie zahlt dir die Zinsen jährlich, aber du würdest natürlich mehr Geld bekommen, wenn sie dir halbjährlich die halben Zinsen zahlen würde (wegen Zinseszinsen). Die Frage ist nun, wohin strebt das, wenn die Zinsen immer öfters ausbezahlt würden (Täglich, pro Minute, Sekunde).
Für einmal pro Jahr gilt:
K=K₀(1+p), K₀ ist das Anfangskapital
Halbjährlich:
K=K₀(1+p/2)²
Allgemein:
K=K₀*(1+p/n)ⁿ

Wenn man sich diese Formel ansieht, kann man nicht sagen wohin sie für n→∞strebt, gegen unendlich wegen dem ^n oder gegen 1 wegen dem p/n. Es ist nun so, dass diese Formel für grosse n gegen K₀*e^p strebt. Wie man hier sieht, kommt das e rein, sobald die Zinsen nicht mehr "abgehackt" jede Sekunde oder so gezahlt werden, sondern kontinuierlich, die ganze Zeit. In der Natur und der Technik ist es oftmals so, dass gewisse Vorgänge, ähnlich dem im Beispiel, kontinuierlich ablaufen. Deshalb gibt es auch da in vielen Formeln die Euler'sche Zahl.

Ich weiss, es war ein etwas praxisfremdes Beispiel, aber ich hoffe ich konnte etwas zeigen, wieso es in einigen Fällen ausgerechnet e^x heisst und nicht 2^x oder 3^x.

EDIT:
Wenn du diese Summenformel ableiten möchtest, solltest du die ersten Paar Glieder ausschreiben, 1+x+x^2/2+x3/6 und so weiter, und dann ableiten, du wirst sehen, dass das gleiche rauskommt. Aber normalerweise beweist man, dass e^x abgeleitet e^x gibt mit Differentialquotient, Differenzenquotient und Grenzübergang.

Mis2com

Konnte ich eldier nicht viel mit anfangen :(:

Es ist nun so, dass diese Formel für grosse n gegen K0*e^p strebt.

Wieso dies?

@Griffin:
Äh, aber gerne, auch wenn ich wahrscheinlich nichts mit anfangen kann.

Griffin

Na da ich eh am Laptop sitze und der mit mir vorm TV liegt fange ich mal an!

1. Differenzenquotient

$D(x)= \frac{f(x)-f(x\_0}{x-x\_0} D(x)= \frac{a^x-a^x\_0}{x-x\_0} D(x)= \frac{a^x\_0 \cdot (a^x}{a^x\_0-1)}$

2. Differenzialquotient
$\lim{x \to x\_0}D(x) = \lim{x \to x\_0}\frac{a^x\_0 \cdot (a^{x-x\_0}-1)}{x-x_0}$

Dann substituieren wir einfach mal a^{x-x_0}-1 mit k.
dann erhalten wir a^{x-x_0}=k+1

Nun erhalten wir

$\log\_a{a^{x-x\_0}}=\log_a{k+1} x-x\_0 = \log\_a{k+1}$

Das setzen wir dann mal ein und erhalten

\lim{x \to x\_0} D(x) = \lim{x \to x\_0} \frac{k+1-1}{\log\_a{k+1}} \cdot a^x\_0 Das vereinfachen wir dann bis zu =a^x\_0 \cdot \frac{1}{\log\_a{\lim{k \to 0}(k+1)^\frac{1}{k}}

un wir wissen bereits, dass
$e=\lim{k \to 0}(k+1)^\frac{1}{k}$

daraus folgt dann
\lim{x \to x[\_0}D(x)=a^x \cdot \frac{1}{\log\_a{e}}

Nun erhält man als Ergebnis
$\lim{x \to x_0} D(x)=a^x \cdot ln a$

Das entspricht der 1. Ableitung.

Also: f'(x)=a^x \cdot ln a bzw e=a

Mis2com

@Griffin:
Irgendwie scheint das nicht richtig dargestellt zu werden?
Im Latex-Tag kannst du ganze Codes eingeben:

[latex]\frac{hallo}{wallo}[/latex]

klappt z.B. auch!

Griffin

hat sich auch erledigt... die [h] und [t] die unbeabsichtigt zwischen die latex-tags geraten sind haben das design wohl mächtig zerschossen

Christoph

Zuletzt bearbeitet von Griffin am Sonntag, 21.12.2003 22:33:11, insgesamt 7-mal bearbeitet

Mis2com

Ja, sieht fein aus.
Wobei du die Strebung noch unter das lim und nicht dahinter machen solltest.

PS: Verstehen tu ichs trotzdem net. ^^

Taurin

Mis2com schrieb:

f: x -> [summe k = 0 bis undenlich(x^k / k!)]

$f: x \rightarrow \sum_{k = 0}^{\infty}{x^k \over k!}$

So?
Aber leider weiß ich nicht, wie man in sowas ableiten soll.

Du kannst es auch anders schreiben:

Die Summe auflösen:

f(x)  = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! ....
      = 1      + x      + x^2/2  + x^3/6  + x^4/24 ....

Ableiten:

f'(x) = 0      + 1      + x      + x^2/2  + x^3/6  ....

Und da das ganze unendlich weitergeht, ist es das gleiche.

Mis2com

Kaum zu glauben, aber:

Ich verstehe

Also ist exp() dann in Ableitungen zu gebrauchen?

asmodis

Hast du schon mal was von Wachstum gehört (lineares, exponentielles, beschränktes, logarithmisches)?

Exponentielles Wachstum wird durch Exponentialfunktionen beschrieben.
Das Beispiel mit dem Zineszins hat man ja schon genannt.
Ein anderes ist der Radioaktive Zerfall.

Jester

@Taurin:

Die Rechnung ist korrekt und geht so auch durch. Ich möchte aber dennoch darauf hinweisen, daß das Ableitung reinziehen in die Summe nicht immer gestattet ist, sondern nur bei hinreichend gutartigen (glm. konvergenten) Reihen erlaubt ist.
MfG Jester

Mis2com

Hm, ich verstehe immernoch nicht wieso man das bei dem Zinssatz mit exp darstellen kann und auch nicht wo das auftritt.

Griffin

naja nimm zum beispiel mal den zerfall von bierschaum.
du hast am anfang eine bestimmte anzahl von volumeneinheiten.
nach 2 min. hast du zB 420 VE, nach 3 min 215 VE und nach 4 min. 108 VE.
Das versuche mal mit einer Funktion darzustellen. Ich fand nur den Weg über eine Exponentialfunktion.

Hier hatte ich mit 2 unbekannten gearbeitet.
$V(t)=a*e^{b \cdot t}$

Entsprechend 2 Wertepaare eingesetzt und zu einer Funktoin mit der Gleichung
$V(t)=987*e^{-0.42883 \cdot t}$ gekommen.

Mis2com

Und wenn man statt e irgendeinen anderen Wert nimmt, wird der Exponent, der hier -0,42883*t ist eben entsprechend anders sein...

Griffin

stimmt.
davon mal abgesehen sind die wertepaare hier eh falsch. hab in der falschen aufgabe nachgesehen *g*
t=2 | V(t) = 419
t=3 | V(t) = 273
muss das heissen. aber nur ne nebensächlichkeit