Suche Funktionenfolge

[WebFritzi]

Jetzt könnt ihr mir mal helfen. Ich suche eine Folge mindestens zweimal stetig diffbarer Funktionen f_n: [0,1]\to\mathbf{R}, die folgende Eigenschaften erfüllt:

(i) f\_n(0) = f\_n'(0) = 0 \rm{\,\, f\"u r \, alle\,\, } n\in\mathbf{N}
(ii) f\_n(1)\cos\alpha = f\_n'(1)\sin\alpha \rm{\,\, f\"u r \, alle\,\, } n\in\mathbf{N}
(iii)\int\_0^1 f\_n^2(x) dx \longrightarrow 0 \rm{\,\, f\"u r\,\, } n\to\infty

Dabei ist \alpha\in [0,\pi) ein beliebiger Wert.

[fubar]

(ii) f\_n(1)\cos\alpha = f\_n'(1)\sin\alpha \rm{\,\, f\"u r \, alle\,\, } n\in\mathbf{N}
Mal eine dumme Frage: Bedingung (ii) wäre ja auch bei f_n(1)=f_n'(1)=0 erfüllt, was aber wahrscheinlich nicht ganz den Sinn trifft, oder?
Ansonsten wäre meine erste Idee so etwas:
$f_n(x)=x^nsin(\alpha x)$, nur sträubt sich die 2. Bedingung noch...
Hmm, vielleicht kann man da noch ein wenig rumbasteln

[xroads42 @Home]

Hört sich irgendwie nach ermite interpolation an. :xmas1: