Bogenlänge einer Astroide

CrazyOwl

Hallo

Folgende Aufgabe bereitet mir gerade etwas Kopzerbrechen:

Berechne die Bogenlänge einer Astroide (Sternkurve) für die gilt:
x=acos³(t)
y=a*sin(t)
*

Ich denke dazu brauch ich wohl folgende Formel, oder nicht:

\mbox{s = }\int_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}\sqrt[]{\frac{d}{dt}{x}^{2}+\frac{d}{dt}{y}^{2}}\mbox{ dt}

Ok, so weit so gut.
Ableitungen von x und y gehen nach t schätz ich mal. (in dem Buch das ich habe ist nur ein Punkt über dem x bzw. y in der Formel, ich hab aber keine Ahnung wie ich den in Latex eintippen muss, also hab ich das Ganze durch mein d/dt ersetzt)
Aber was muss ich bei den Integralgrenzen einsetzen ?
Oder bin ich komplett auf dem falschen Weg ?

Danke

CrazyOwl

Hm hab das ganze jetzt mal graphisch dargestellt.
Wie's aussieht geht die Kurve ja über 4 Quadranten wobie alle Bogenlängen gleich lang sind.
Also hab ich mal als Integralgrenzen einfach 0 und π/2 eingesetzt und die Länge am Ende mit 4 multipliziert.

Darf man das machen ?

Marc++us

Grundsätzlich sieht das gut aus.

Bogenlängen berechnet man gerne in Polarkoordinatendarstellung, das ist schon mal ok. Auch die Formel sieht richtig aus, nämlich immer ein "Stückchen" dt nehmen, diese Änderung für dt gibt's in x und y, davon den Pythagoras, und das alles aufsummieren. Nur Deine Formel ist falsch geschrieben, das (dx/dt) gehört in Klammern, und nicht das x. Denn Du mußt für den Pythagoras ja das Stück x nehmen, das sich in Abhängigkeit von dt ändert. Aber so wie ich es verstanden habe hattest Du es ja so gerechnet.

Dein Ergebnis mit dem 4 x Länge in einem Quadranten ist dann richtig, wenn Du als Grenzen 0 bis 2 pi einsetzt und das gleiche Ergebnis herauskommt...

CrazyOwl

Na gut immerhin bekomm ich am Ende mal einen Wert.

Also wenn ich von 0 bis PI integriere und das Ergebnis mit 4 multipliziere bekomm ich: 58,288 heraus.

WEnn ich alle 4 Quadranten getrennt voneinander integriere und dann addiere bekomm ich auch die 58,288 heraus.

Nur beim Integrieren von 0 bis 2 PI kommt 57,54 heraus.
Ist das normal, oder ist da irgendwo ein Fehler drinnen ?

Danke

PS: Berechnet mit Mathcad 2001i

Jester

Hm... das ist in der Tat merkwürdig.

Wir haben also

c(t) = (a*cos(x)^3, a*cos(x))
c'(t) = (-3*a*cos(x)^2*sin(x), -a*sin(x))

L = ∫||c'(t)||dt

soweit also korrekt.
Einsetzen liefert:

||c'(x)|| = 9*a² cos(x)⁴ sin(x)² + a² cos(x)²

Bei mir kommt es übrigens nicht darauf an, von wo bis wo ich integriere.
Kannst Du vielleicht Dein a mal angeben?

MfG Jester

CrazyOwl

Ich hab bei a einfach mal 10 eingesetzt weil ich nicht wusste was ich damit anfangen soll.

WebFritzi

@Jester: SChau dir deinen Beitrag mal an. Da ist fast alles falsch. Du hast nur einmal richtig abgeleitet.

Jester

Oh, dann hab ich wohl im Maple was falsch eingetippt...später nochmal nachschauen.

Aber das Prinzip stimmt

MfG Jester

WebFritzi

OK, ich korrigiere:

Hm... das ist in der Tat merkwürdig.

Wir haben also

c(x) = (a*cos(x)^3, a*sin(x))
c'(x) = (-3*a*cos(x)²*sin(x), a*cos(x))

L = ∫||c'(t)||dt

soweit also korrekt.
Einsetzen liefert:

||c'(x)||² = 9*a² cos(x)⁴ sin(x)² + a² cos(x)²

bzw.

$\|c'(x)\| = |a \cos x| \cdot \sqrt{9 \cos^2x \sin^2x + 1}$

Bei mir kommt es übrigens nicht darauf an, von wo bis wo ich integriere.
Kannst Du vielleicht Dein a mal angeben?

MfG Jester

CrazyOwl

WebFritzi schrieb:

Bei mir kommt es übrigens nicht darauf an, von wo bis wo ich integriere.
Kannst Du vielleicht Dein a mal angeben?

Steht 3 Beiträge weiter oben.
a=10, hab ich aber nur angenommen, keine Ahnung ob man das machen kann

Ich werd das Ganze jetzt auch noch mal durchgehen, vielleicht fällt mir ja jetzt was auf.

WebFritzi

CrazyOwl schrieb:

WebFritzi schrieb:

Bei mir kommt es übrigens nicht darauf an, von wo bis wo ich integriere.
Kannst Du vielleicht Dein a mal angeben?

Steht 3 Beiträge weiter oben.

Wirklich? Lies doch mal vorher etwas genauer...

CrazyOwl

Jo a=10 ???
Sorry, aber ich komm echt nicht mit, war keineswegs böse gemeint, aber ich weiß echt nicht was du im Moment wissen willst.

Jester

@Webfritzi: Danke

@CrazyOwl:
Webfritzi hat meinen Beitrag komplett kopiert und die Fehler korrigiert.

Sind damit die Probleme behoben?
Oder gibt's noch Schwierigkeiten?
Zeig doch mal Deinen Rechenweg.

MfG Jester

CrazyOwl

So ist das.
Hab mir schon gedacht wieso schreibt WebFritzi unter seinen Beitrag Mfg Jester.
Editiert wurde er auch nciht von dir, also ich hab gar nix mehr verstanden.

Naja leider muss ich zugeben, dass ich auch von der Rechnung nicht viel verstehe.
Schon in der ersten Zeile: c(t) = (a*cos(x)^3, a*cos(x))
Woher kommt das a*cos(x) da, also der hintere Teil ?

Und da kapier ich auch leider gar nichts:
L = ?||c'(t)||dt

Ist das die gleiche Formel wie die von mir ausm ersten Beitrag ?
Wo sind dann die Wurzel und die Quadrate hin ?
Und gleich noch eine Frage für was stehen 2 solche Striche || hintereinander.
|a| ist mir bekannt -> Betrag von a, aber was heißt das wenn 2 da sind ?

Danke

Jester

Oh, ich glaub da sitzt noch ein Fehler in meinem Beitrag... also nochmal von vorne:

es heißt also

c(t) = (a*cos³(t), a*sin(t)) der zweite cos war ein Typo.

Grundsätzlich gilt:
Länge einer Funktion ist Integral über Norm der Ableitung:

L = ∫||c'(t)||dt dabei ist ||.|| die Norm, wie man sie aus der LA kennt: einzelne Komponenten quadrieren, aufsummieren und Wurzel ziehen.
Die Formel stimmt also mit Deiner überein, ist aber etwas kompakter und daher auch leichter zu merken.

Solche Funktionen wie c(t) werden komponentenweise abgeleitet, daher:

c(t) = (acos(t)³, asin(t))
c'(t) = (-3*a*cos(t)²*sin(t), a*cos(t))

Dann die Norm berechnen, also die beiden Komponenten von c'(t) quadrieren. Beides aufaddieren und die Wurzel ziehen... da verweise ich jezt einfach mal auf den Beitrag von Webfritzi. Und über diese Funktion mußt Du dann integrieren.

MfG Jester

WebFritzi

Jester schrieb:

es heißt also

c(t) = (a*cos³(t), a*sin(t)) der zweite cos war ein Typo.

Hatte ich schon längst korrigiert.

CrazyOwl

Ok, danke, hatte heute ziehmlich viel um die Ohren, hab das wahrscheinlich deshalb übersehen. Leider immer nur Zeit zum Überfliegen gehabt.
Sorry und danke nochmals.