Suche Beweis

[ChrisM]

Hi,

hier (http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/sm/faq.pdf) steht folgendes:

"Es gibt kein Polynom, das alle Primzahlen liefert. Dies zu zeigen ist eine
einfache Übung. Es gibt kein nicht-konstantes Polynom, das lediglich Primzahlen
liefert. Der Beweis ist so einfach, dass er wahrscheinlich von einem
Schüler gefunden werden könnte (vgl. z.B. Ribenboims Buch The Book of
Prime Number Records)."

Kennt den jemand?

ChrisM

[Jester]

Hab einen:

Nehmen wir an, wir haben ein solches Polynom f.
Wir setzen eine Stelle n ein und erhalten eine Primzahl p, in Formeln:
f(n) = p, also f(n)≡0 (mod p)

Betrachte jetzt f(n+k*p)≡f(n)≡0 (mod p) für alle k aus |N, denn Restbildung kann man in die Potenzen und Summen reinziehen(Übungsaufgabe ;)).

Das heißt aber p teilt f(n+k*p) für alle k aus |N. Da die Werte aber alle prim sein sollen muß wohl jeweils p rauskommen. Wir haben also f(n+k*p) = p für alle k aus |N. Also hat das Polynom f(x)-p undendlich viele Nullstellen. Damit ist aber f(x) = p und damit konstant.

MfG Jester

[ChrisM]

Hi,

hmm... so einigermaßen kann ich folgen, aber um darauf zu kommen, muss man doch nicht Schüler, sondern mathematikbegabter Abiturient sein, oder?

OK, wenn man den Beweis liest, ist er recht verständlich, aber darauf zu kommen...

ChrisM

[Jester]

Vielleicht gibt es ja auch noch nen einfacheren, das ist ja nur ein Beweis und nicht der eine wahre Beweis.

[Mis2com]

Der war jetzt einfach, oder?

Und jetzt komme hier ich und frage hier:

f(n) = p, also f(n)≡0 (mod p)

mod = Modulo = Rest!?

Und was ist ein Polynom?

Und Nullstellen, das wüsste ich noch gerne, dann geb ich Ruhe.

[Jester]

ja, modulo ist Rest.

Ein Polynom ist von der Form

p(x) = a_n*xⁿ+a_n-1*x^n-1+...+a₁*x+a₀

Und eine Nullstelle einer Funktion f ist eine Stelle x₀ für die gile
f(x₀)=0.

MfG Jester

[xroads42]

Jester schrieb:

ja, modulo ist Rest.

Ein Polynom ist von der Form

p(x) = a_n*xⁿ+a_n-1*x^n-1+...+a₁*x+a₀

Und eine Nullstelle einer Funktion f ist eine Stelle x₀ für die gile
f(x₀)=0.

MfG Jester

p(x) = xⁿ+a_n-1*x^n-1+...+a₁*x+a₀

meiner meinung nach ist es so richtig. Weil die a_n dürfen ja aus |R sein und somit aus 0. Klar ware das mit den ersten a_n auch noch ein polynom, allerding dürfte man sich bei der definiton von den Grad eines Polynoms schwer tuen. Oder???

[Jester]

Was ist nach Deiner Definition

p(x) = 3*x²+4x+7 ? Jedenfalls kein Polynom.

Der Grad eines Polynoms ist der höchste Koeffizient, der nicht verschwindet.
max{i | a_i≠0}

edit, um's ganz genau zu machen:

max {i | a_i≠0} υ {-∞}

falls nämlich die vordere Menge leer ist, also alle Koeffizienten 0, so ist der Grad -∞

MfG Jester

[Mis2com]

Oh Gott, wie kommt man denn darauf und so?

Und was ist noch gleich ein Koeffizient?

[Jester]

Koeffizienten sind die Zahlen die vor den Potenzen von x stehen, also in diesem Fall die a_i

MfG Jester

[Mis2com]

ahso, aber was ist i?

[Bashar]

Ein Index.

[Jester]

@Mis2Com:
Stells Dir wie ein Array vor:
Ein Array namens a, in dem die Zahlen alle drinstehen, dann ist a_i nichts anderes als a[i] in C++.

Wirds so klarer?

[ChrisM]

Hi,

achtung, keine mathematische Erklärung!!

Ich glaub, ich erklär's Mis2com mal in unmathematischer Sprache.

Eine Polynom ist immer so aufgebaut, z.B. ein Polynom zweiten Greads:
x^2 + x + c

Oder eins dritten Grades:
x^3 + x^2 + x + d

Dann setzt man noch vor jedes x einen Faktor, den Koeffizient:
ax^3 + bx^2 + cx + d

Interessant ist es jetzt vielleicht zu wissen, dass wenn das höchste Polynom (hier x^3) z.B. negativ ist, der ganze Graph auf Dauer nach unten geht, auch wenn die anderen Koeffizienten viel größer sind. Denn irgendwann wird x^3 so groß, dass sich das x^3 auch mit kleinem Koeffizient "durchsetzt" und größer wird als der Rest.

Die Nullstellen sind dabei einfach die x-Werte, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Dabei kann ein Graph (muss aber nicht) nur maximal so viele Nullstellen haben, wie der höchste Exponent des Polynoms ist, also z.B. ax^2 + bx + c (quadratische Gleichung) kann maximal zwei Nullstellen haben, aber auch z.B. keine (ScheitelY > 0) oder eine (Scheitel liegt auf x-Achse).

Das war jetzt keine gute Erklärung, aber jetzt hast du es verstanden, oder?

ChrisM

[Jester]

Sorry, aber das ist irgendwie... naja, was ist denn bitte die Dimension eines Polynoms? Das was Du da beschreibst ist der Grad! Klingt halt nicht so freakig wie Polynom, nicht wahr?

Und daß wenn der Leitkoeffizient negativ ist die Funktion auf Dauer nach unten geht ist auch falsch:

-x³ geht gegen +∞ für x→-∞

Was Du wohl meintest, ist, daß die höchste Potenz das Verhalten der Funktion "im Großen" bestimmt.

Es ist ja schön Vereinfachungen vorzunehmen, aber bitte nicht auf Kosten der Korrektheit. Und ja, korrekte einfache Erklärungen sind viel schwerer zu finden, als korrekte falsche oder korrekte komplizierte.

MfG Jester

[ChrisM]

Hi,

Was Du wohl meintest, ist, daß die höchste Potenz das Verhalten der Funktion "im Großen" bestimmt.

ja, das meinte ich.

Wie gesagt, das oben ist stimmt mathematisch gesehen nicht, aber um jemand, der nicht weiß, was ein Polynom ist, das schnell zu erklären (auch wenn's halt wie gesagt, nicht 100%ig korrekt ist), ist es denk ich echt recht brauchbar.

Trotzdem stimm' ich dir zu, dass er hinterher noch deine mathematische Erklärung verstehen sollte, dass nichts Falsches hängenbleibt.

Und statt zweidimensional meinte ich wirklich Polynom zweiten Grades, ich hab nur grad' irgendwie an was anderes gedacht.

ChrisM