Gedämpfte mechanische Schwinung

[black_devil]

Hey!!

Hänge hier bei einem Rechenbeispiel fest!!

Aufgabenstellung:
Bei einem gedämpften mechanischen Schwinger ist due Dämpfungskonstante b=34,64kg/s.
Die anderen Konstanten sind
m=2kg
c=300N/m
x(0)=0,5m
v(0)=-15m/S

Man untersuche den Bewegungsverlauf!!

Mein Lösungsweg:
δ$=\frac{b}{2m}=15$

ω0=√c / m

Dann kann ich mir mit λ² + 2δ + ω0²=0
die beiden λ ausrechnen

λ1=-35.809411753762377101
λ2=-4.1905882462376228994

Jetzt müsste ich mir ja aus $y(0)=C1 * e^0 + C2 * e^0$
C1 und C2 ausrechnen!
Aber was setze ich für y(0) ein?? Muss ich da die 0,5 einsetzen??

Und ist der Rechenweg soweit richtig?

THx
black_devil

[kwoTx]

Also versuchen wirs mal... ich schreib einfach mal drauf los, auch wenn du nen Teil schon hast.

DGL: $\ddot \mathbf{x} + \frac{b}{m} \dot \mathbf{x} + \frac{c}{m} \mathbf{x} = 0$

Der komplexe Ansatz

$\mathbf{x}(t) = C e^{\lambda t}$
$\mathbf{x}'(t) = C\lambda e^{\lambda t}$
$\mathbf{x}''(t) = C\lambda^2 e^{\lambda t}$

führt mit $\delta=\frac{b}{2m}$ und $\omega_0^2=\frac{c}{m}$ zu $\lambda^2 + 2\delta\lambda + \omega_0^2 = 0$

und damit $\lambda_{1,2}=-\delta \pm \sqrt{\delta^2-\omega_0^2}$

Es liegt schwache Dämpfung vor ($\delta<\omega_0$). D.h. $\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}$ ist imaginär. Mit $\omega^2=\omega_0^2-\delta^2$:
$\lambda_{1,2}=-\delta \pm i\omega$ .

Es folgt

$\mathbf{x}(t) = C\_1 e^{\lambda\_1 t} + C_2 e^{\lambda\_2 t} = e^{-\delta t} ( C\_1 e^{i\omega t} + C_2 e^{-i\omega t} )$

Mit der Eulerformel $e^{i\alpha}=\cos{\alpha} + i\sin{\alpha}$ und den reellen Integrationskonstanten $D\_1=C\_1+C_2$ und $D\_2=i(C\_1-C_2)$ ergibt sich als reelle Lösung

$\mathbf{x}(t) = e^{-\delta t} ( D\_1 \cos{\omega t} + D\_2 \sin{ \omega t})$

bzw.

$\mathbf{x}(t) = A e^{-\delta t} \sin{(\omega t + \varphi)}$

\mathbf{x}'(t)= A e^{-\delta t} [\omega\cos(\omega t + \varphi) - \delta\sin(\omega t + \varphi)]

Hier lassen sich nun A und φ aus den Anfangsbedingungen bestimmen.

Mit $\mathbf{x}(0)=x_0$ und $\mathbf{x}'(0)=v_0$ folgt:

$A \sin{\varphi}=x_0$ und

$A(\omega\cos{\varphi} - \delta\sin{\varphi})=v_0$

Auflösen führt zu

$\varphi=arctan{\frac{\omega x\_0}{v\_0 + \delta x_0}}$

bzw

$A=\sqrt{x\_0^2 + \left(\frac{v\_0+\delta x_0}{\omega}\right)^2}$

Hoffe das kommt hin und hilft.