Stetigkeit/Differenzierbarkeit von Funktionen
-
Hi leute!
kann mir jemand bei folgenden Beispiel helfen. hab schon etwas herumprobiert, probleme gibts aber im detail (v.a. beim Grenzwertberechnen):Beispiel:
Ist die Funktion
f(x) = x^2/(2+sin(1/x)) für x!=0 und
f(x) = 0 für x=0
an der Stelle 0
stetig
differenzierbar
stetig differenzierbar?wär ja nicht mal so schwer, wenn da dieses sin(1/x) nicht wäre...
wie kann man von f einen Grenzwert berechnen? der Computer (Derive) sagt lim(f(x)) für x->0 ist 0, aber wie berechnet man das?Hab mal so angefangen:
stetig: der Grenzwert existiert und ist gleich dem Funktionswert an der Stelle 0. das ist offensichtlich gegeben - wenn mans schafft den Grenzwert zu berechenen
differenzierbar: d.h. die 1. Ableitung an der Stelle 0 existiert. Da ich 0 nicht mehr ableiten kann, würde ich sagen, f(0) ist nicht differenzierbar.
stetig differenzierbar: da nicht differenzierbar, kann die Ableitung auch nicht stetig sein.bitte um hilfe!
-
ich mach mal den anfang:
sin(...) € [-1..1]
lim x->0 (x^2) = 0;
Wenn du 0 durch eine Zahl zwischen 1 und 3 teilst, kommt immer noch 0 herraus.
Da lim x->0 f(x) = f(0), ist die Fkt. stetig in 0.
-
aha...
alles klar!meine weiteren folgerungen sind auch richtig, was differenzierbarkeit betrifft?
-
oh, hatte dein posting nicht fertig gelesen.
Nein, deine folgerungen sind nicht richtig. y = 0 => y' = 0
Ableitung für y = 0 existiet.Defnition der Differeznierbarket:
f ist in x0 diffierentierbar, wenn der Grenzwert
lim x->x0 ((f(x) - f(x0)) / (x - x0))
existiert.Wir können ja mal schauen, was passiert.
für x != 0:
f'(x) = (2x * (2+sin(1/x)) + cos(1/x)) / (2 + sin(1/x))^2
Da sin(1/x)/cos(1/x) für x -> 0 zwischen -1 und 1 osziliert, wird f' auch
(unendl.)viele Vorzeichenwechsel für x -> 0 machen. Der Grenzwert lim x->0 f'(0)
existiert also nicht. Also nicht diff.bar.
-
Taurin schrieb:
Der Grenzwert lim x->0 f'(0) existiert also nicht. Also nicht diff.bar.
Du meintest wohl "lim x->0 f'(x)" und "nicht stetig diffbar". Differenzierbar ist die Funktion in 0. Das zeigt man mit dem gleichen Argument wie für die Stetigkeit von f in 0.