seltsames Hotel...

[Jester]

Anzählbar heißt nur, daß man sie durchnumerieren kann.

Menge M ist abzählbar :<=> es ex. surjektive Abbildung f:|N-->M

Trivialbeispiel: |N die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar, es sind aber dennoch unendlich viele. Z und Q sind zum Beispiel auch abzählbar, |R hingegen nicht. Das sind dann sozusagen mehr Elemente.

Zurück zum Hotel:

Was passiert, wenn einer kommt ist inzwischen klar. Wenn aber n Stück kommen mit n \in |N. Was machen wir dann? Klar, jeder rückt n Zimmer weiter und zack, wir haben n Zimmer freigemacht.

Okay, angenommen es kommen unendlich viele (ebenfalls abzählbar), was machen wir jetzt? Naja, wir sagen jedem Gast bitt geh in das Zimmer mit der doppelten Zimmernummer. Dann werden alle Zimmer mit ungeraden Nummern frei. Das sind unendlich viele, also kein Problem.
Und wenn eben unendlich viele Busse mit unendlich vielen Leuten ankommen (jeweils abzählbar), dann geht das recht ähnlich. Stichwort: Cantorsches Diagonalverfahren. Aber auch mit Hilbertsches Hotel dürftest Du bei google fündig werden.

MfG Jester

[Bashar]

Kann man denn einfach sagen, dass das Hotel $\mathbb{N}$ Zimmer hat? Ich hätte gerne {5, 15, 19 } Bananen?

[Daniel E.]

Bashar schrieb:

Ich hätte gerne {5, 15, 19 } Bananen?

Eine Menge Bananen eben.

[Jester]

Also wirklich sauber ist das nicht. Aber da ich das Ding kenne hab ich's mal freizügig interpretiert.

[anonymus]

mehr fällt mir im Momement ned ein...

hab etz noch a bissl "gegoogled"...

Was mir nur noch aufgefallen is:

einer kommt an => der setzt den im ersten Zimmer vor die Tür und sagt ihm,
er soll's mit dem im 2. Zimmer genauso machen, der dann mit dem im 3. usw.

Das heisst aber doch dann, dass dann ständig und bis in alle Ewigkeit jemand (wenn
auch immer ein anderer) am laufen is und somit kein Zimmer hat,
wodurch das Hotel dann doch eigentlich überbelegt ist,
wenn's auch keinen wirklich stört, weil er ja ein neues Zimmer kriegt.
irgendwie pervers ...

trotzdem danke für die vielen Antworten
Martin

PS:
sind Q und Z abzählbar, weil sich ein Intervall auf den beiden nicht bis in alle
Unendlichkeit teilen lässt, sich bei IR aber zwischen 2 Zahlen wieder x-beliebig
viele weitere befinden?

[Christoph]

Bei Q befinden sich zwischen zwei nicht gleichen Zahlen auch unendlich viele Zahlen.
Der Unterschied zu R ist: Man kann (natürlich nur theoretisch) alle diese Zahlen durchnummerieren und der Größe nach anordnen. Das ist bei der Menge der reellen Zahlen nicht möglich.
Natürlich kann kein Mensch jede Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt (in Q), abzählen. Er wäre unendlich lange beschäftigt. In der Theorie ist es aber möglich und das zählt für die Mathematiker.

[Jester]

@anonymous:

Stell Dir vor, sie haben ne Möglichkeit was durchzusagen: bitte jeder ein Zimmer weiter.

[Bashar]

cd9000 schrieb:

Der Unterschied zu R ist: Man kann (natürlich nur theoretisch) alle diese Zahlen durchnummerieren und der Größe nach anordnen.

Ach so? Wie lauten denn die ersten 10 rationalen Zahlen größer 0?

AFAIK kann man sie zwar abzählen, aber nicht so, dass sie der Größe nach geordnet sind.

[Christoph]

Hmm...
Ich dachte wenn jede Zahl eine eindeutige Nummer hat kann man sie auch der Größe nach anordnen?
Dass man damit nie ganz fertig wird (folglich auch nicht die "ersten 10 Zahlen größer 0" nennen kann), ist ja bekannt.

[Jester]

Naja, angenommen das ginge. Dann könnte man doch auch die 10 kleinsten aufschreiben. Widerspruch!
Also geht's nicht.

MfG Jester

[asmodis]

Dazu fällt mir noch ein, dass die algebraischen Zahlen abzählbar sind. Da die reelen Zahlen aber überabzählbar sind, gibt es transzendente Zahlen.
Bemerkenswert daran ist, dass Cantor so die Existens transzendenter Zahlen bewiesen hat, bevor man überhaupt bewiesen hatte, dass e und pi transzendent sind.

[Jester]

Wie war das? - Gut das wir drüber gesprochen haben. :p

[Christoph]

ups, Denkfehler meinerseits.

[asmodis]

Es ist immer wichtig, dass man darüber spricht!

[WebFritzi]

Jester schrieb:

Naja, angenommen das ginge. Dann könnte man doch auch die 10 kleinsten aufschreiben. Widerspruch!

Wo ist da der Widerspruch!? Der Widerspruch ergibt sich wie folgt: Angenommen, das ginge. Ich gehe davon aus, dass wir nur die positiven rationalen Zahlen so anordnen wollen. Dann gibt es eine kleinste rationale Zahl q = m/n mit m,n aus |N\{0}. Setze nun p = m/(n+1). Dann ist p < q. Widerspruch, da wir angenommen hatten, dass q die kleinste positive rationale Zahl ist!