seltsames Hotel...
-
Bei Q befinden sich zwischen zwei nicht gleichen Zahlen auch unendlich viele Zahlen.
Der Unterschied zu R ist: Man kann (natürlich nur theoretisch) alle diese Zahlen durchnummerieren und der Größe nach anordnen. Das ist bei der Menge der reellen Zahlen nicht möglich.
Natürlich kann kein Mensch jede Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt (in Q), abzählen. Er wäre unendlich lange beschäftigt. In der Theorie ist es aber möglich und das zählt für die Mathematiker.
-
Stell Dir vor, sie haben ne Möglichkeit was durchzusagen: bitte jeder ein Zimmer weiter.
-
cd9000 schrieb:
Der Unterschied zu R ist: Man kann (natürlich nur theoretisch) alle diese Zahlen durchnummerieren und der Größe nach anordnen.
Ach so? Wie lauten denn die ersten 10 rationalen Zahlen größer 0?
AFAIK kann man sie zwar abzählen, aber nicht so, dass sie der Größe nach geordnet sind.
-
Hmm...
Ich dachte wenn jede Zahl eine eindeutige Nummer hat kann man sie auch der Größe nach anordnen?
Dass man damit nie ganz fertig wird (folglich auch nicht die "ersten 10 Zahlen größer 0" nennen kann), ist ja bekannt.
-
Naja, angenommen das ginge. Dann könnte man doch auch die 10 kleinsten aufschreiben. Widerspruch!
Also geht's nicht.MfG Jester
-
Dazu fällt mir noch ein, dass die algebraischen Zahlen abzählbar sind. Da die reelen Zahlen aber überabzählbar sind, gibt es transzendente Zahlen.
Bemerkenswert daran ist, dass Cantor so die Existens transzendenter Zahlen bewiesen hat, bevor man überhaupt bewiesen hatte, dass e und pi transzendent sind.
-
Wie war das? - Gut das wir drüber gesprochen haben. :p
-
ups, Denkfehler meinerseits.
-
Es ist immer wichtig, dass man darüber spricht!
-
Jester schrieb:
Naja, angenommen das ginge. Dann könnte man doch auch die 10 kleinsten aufschreiben. Widerspruch!
Wo ist da der Widerspruch!? Der Widerspruch ergibt sich wie folgt: Angenommen, das ginge. Ich gehe davon aus, dass wir nur die positiven rationalen Zahlen so anordnen wollen. Dann gibt es eine kleinste rationale Zahl q = m/n mit m,n aus |N\{0}. Setze nun p = m/(n+1). Dann ist p < q. Widerspruch, da wir angenommen hatten, dass q die kleinste positive rationale Zahl ist!