4. Lineare Gleichungen mit 2 Var.

Lineare Gleichungen mit 2 Var.

  • W

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das! Dafür ist z.B. notwendig, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Lös mir z.B. mal das LGS

    x  + y = 1
-x + y = 1

    in |R^2 mit deinem "Verfahren". Es wird dir nicht gelingen, denn das charakteristische Polynom der Matrix ist p(x) = (1-x)^2 + 1. Dieses hat keine reellen Nullstellen.

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  • O

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das! Dafür ist z.B. notwendig, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Lös mir z.B. mal das LGS

    x  + y = 1
-x + y = 1

    in |R^2 mit deinem "Verfahren". Es wird dir nicht gelingen, denn das charakteristische Polynom der Matrix ist p(x) = (1-x)^2 + 1. Dieses hat keine reellen Nullstellen.

    Das du die Diagonalmatrix nur benutzen kannst wenn das LGS eindeutig lösbar ist, ist mir schon klar. Bei freien Parametern lässt sich die Matrix ja nicht eindeutig lösen da der Lösungsvektor nicht eindeutig lösbar ist.

    Zu deinem kleinen LGS da oben...kannst du mir mal die Lösung aufschreiben? Würde mich interessieren...der Lösungsvektor wäre für deine Aufgabe hier wohl

    |0|
    |1| oder? (x=0, y =1)

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  • S

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar!

    diagonalisierbar != kann durch elementare Umformungen in Diagonalform gebracht werden. Und nur um letzteres ging es in diesem Thread.

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  • W

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das!

    Gut, dass ich keine Ahnung habe! Entschuldige bitte, Online. Natürlich kann man jede invertierbare Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen. Darauf beruht ja das allgemein bekannte Verfahren zur Berechnung der Inversen einer Matrix. Ich glaub, ich muss meine Kenntnisse in Linearer Algebra nochmal auffrischen. Ist doch schon ne Weile her. 😉

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  • O

    WebFritzi schrieb:

    WebFritzi schrieb:

    Mein lieber Online,
    gut, dass du keine Ahnung hast. Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar! Merk dir das!

    Gut, dass ich keine Ahnung habe! Entschuldige bitte, Online. Natürlich kann man jede invertierbare Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Diagonalgestalt bringen. Darauf beruht ja das allgemein bekannte Verfahren zur Berechnung der Inversen einer Matrix. Ich glaub, ich muss meine Kenntnisse in Linearer Algebra nochmal auffrischen. Ist doch schon ne Weile her. 😉

    Meinst du das jetzt Ernst oder ist das Sarkasmus? 😕 🙂

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  • W

    Ich meine das ernst. Warum sollte ich es nicht ernst meinen, wenn es absoluter Quatsch war, den ich geschrieben hatte?! Du hattest recht und ich unrecht. Zu meinem Beispiel:

    x + y = 1
-x + y = 1

    Die Matrix dazu ist

    1  1 | 1
-1  1 | 1

    Addieren der ersten und zweiten Zeile und Stehenlassen der ersten Zeile ergibt:

    1  1 | 1
 0  2 | 2

    Multiplizieren der zweiten Zeile mit -1/2:

    1  1 |  1
 0 -1 | -1

    Addieren der beiden Zeilen und Stehenlassen der zweiten Zeile ergibt:

    1  0 |  0
 0 -1 | -1

    So! Und da hast du deine Diagonalmatrix. Man kann stets durch elementare Zeilenumformungen erreichen, dass links die Einheitsmatrix steht. Dann steht rechts der Lösungsvektor.

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  • O

    Ja, genau so meinte ich das. Ich war mir plötzlich nicht so sicher als du mich
    so angefahren hast, hab ich angefangen an meinem Wissen zu zweifeln. 🙂
    Schwamm drüber.... 😃

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