wo ist die funktion stetig?

[Bashar]

Ich seh noch nicht, dass die Grenzwerte an den irrationalen Stellen existieren.

[Jester]

Such Dir ne irrationale Zahl aus, nennen wir sie x. Jetzt kästeln wir diese mal ein. Und zwar mit dem Nenner p. Dann kriegen k/p <= x <= k+1/p
Jetzt können wir genauer schachteln, aber um das zu machen müssen wir den Nenner erhöhen. Dazwischen liegen nämlich nur noch Zahlen, die einen Nenner > p haben. Das können wir jetzt immer wieder machen, z.B. durch Intervallschachtelung. Damit muß der Nenner gegen unendlich gehen. Und weil die Folge gegen x konvergiert, muß sie ab einer bestimmten Stelle in jedem von uns vorgegeben Intervall obiger Bauart enthalten sein. Also muß auch deren Nenner gegen unendlich gehen. Also geht der Funktionswert gegen 0.

MfG Jester

[Abbadon]

ok, meine Beweisidee:
Def von Stetigkeit:
zu jedem epsilon>0 ex. ein delta>0 so dass gilt |x-x0|<delta => |f(x)-f(x0)|<epsilon

In einer Umgebung um x0 existieren nur endlich viele x mit f(x) > epsilon (ist eigentlich offensichtlich), wähle delta nun so, dass alle diese x ausserhalb der delta-Umgebung um x0 liegen. So kann ich zu jedem epsilon ein delta finden.

[Jester]

Naja, das sieht jetzt nicht wirklich wie ein Beweis aus, der einzige Bezug, den Du zur Aufgabe herstellst ist ein: "offensichtlich"...

Ich würds eher mit

f stetig in x0 <=> für alle Folgen (x_n) mit lim x_n = x0 gilt: lim f(x_n) = f(x0)

MfG Jester

[WebFritzi]

Also, ich würd's so machen: Sei x₀ eine irrationale Zahl und (x_n) eine Folge, die gegen x₀ konvergiert. Die irrationalen Zahlen in dieser Folge sind eh uninteressant, da, wenn x_n irrational f(x₀) - f(x_n) = 0 - 0 = 0 < epsilon für jedes epsilon > 0. Wir nehmen also an, unsere Folge bestünde nur aus rationalen Zahlen:
$x\_n = \frac{p\_n}{q_n}$
mit teilerfremden p_n und q_n. Wäre nun die Folge (q_n) beschränkt, dann wäre auch (p_n) beschränkt, denn aus |q_n| < K folgt:
$\frac{|p\_n|}{K} < |\frac{p\_n}{q\_n}| = |x\_n|\,,$
also |p_n| < K * |x_n|, und (x_n) ist als konvergente Folge beschränkt. Sind also (p_n) und (q_n) beschränkt, dann gibt es nur endlich viele Werte, die x_n annimmt (p_n und q_n sind ganze Zahlen). Dann gibt es also ein N aus |N, so dass
$x\_0 = \frac{p\_N}{q_N}\,,$
was ein Widerspruch wäre, denn wir hatten x₀ als irrational angenommen. (q_n) ist somit nicht beschränkt. Das kann man auch für jede Teilfolge von (q_n) machen ==>

(*) Keine Teilfolge von (q_n) ist beschränkt!

Ist nun $\varepsilon > 0$ gegeben, dann gibt es ein $N\in\mathbf{N}$, so dass
$\frac{1}{|q_n|} < \varepsilon$
für alle n > N, denn gäbe es solch ein N nicht, dann wäre
$\frac{1}{|q_n|} \ge \varepsilon$
bzw.
$|q_n| \le 1/\varepsilon$
für unendlich viele n aus |N, was (*) widerspräche. Insgesamt folgt
$f(x\_n) = f(\frac{p\_n}{q\_n}) = \frac{1}{q\_n} \longrightarrow 0 = f(x_0)\,,$
was die Stetigkeit von f in $x_0$ zeigt.

Abbadon schrieb:

In einer Umgebung um x0 existieren nur endlich viele x mit f(x) > epsilon (ist eigentlich offensichtlich)

Wenn es für dich so offensichtlich ist, dann wird es für dich wohl kein Problem sein, das schnell zu beweisen, oder?

@Jester: Formuliere deine Sätze zu Ende!

[Jester]

WebFritzi schrieb:

@Jester: Formuliere deine Sätze zu Ende!

da fällt mir nur folgendes ein:

Das Ende einer Doppelbegabung,
von ihr selbst erzählt.

Ich war ein ein großer Maler und Dichter.
Doch nach einiger Zeit mochte ich kein Bild mehr zu Ende malen,
und kurz darauf auch keinen Satz mehr zu Ende schrei

btw.: schöner Beweis

[WebFritzi]

lol

[Abbadon]

das war doch nur die Beweis Idee, nicht der vollständige beweis.

Im Beweis schreib ich dann natürlich noch:

Intervall beschränkt, ... , obere schranke = a , untere schranke = b,
x aus Intervall und f(x)>epsilon => x aus X:={ b/r, ... ,o/r , b/(r-1), ... , o/(r-1) , ....... , b/1 , ... ,o/1} 1/r < epsilon, o/r > a
X ist eine endliche Menge.

Nur natürlich etwas ausführliche, ohne Fehler und so dass mans auch versteht.

[WebFritzi]

Abbadon schrieb:

... und so dass mans auch versteht.

Ähm, ja!

[SG1]

Aeh, ja. Wisst Ihr, was mir heute lustiges passiert ist? Wir bekommen heute in der Analysis-1-Uebungsgruppe den neuen Aufgabenzettel ausgeteilt, und was seh ich da? GENAU DIESE AUFGABE!

[WebFritzi]

lol. Dann konntest du sie ja auch leicht lösen.