kniffliges Integral lösen

flosko

Hi Leute!

Ich soll hier folgendes Integral lösen:
INTEGRAL[dx/(2*sin²x*cos²x)]

Grundsätzlich stell ich mich ja gar nicht so blöd an beim integrieren, aber da häng ich fest. Ich denke mal, dass man hier einfach gut substituieren muss, komm aber nicht dahinter was ich wodurch ersetzen soll!

kleiner Tipp wäre sehr hilfreich!
danke!

mfg
flo

Hallo

Es gilt
$sin(x)cos(x) = \frac{1}{2}sin(2x) \Rightarrow (sin(x)cos(x))^2 = (\frac{1}{2}sin(2x))^2$

$\Rightarrow \int \frac{1}{2sin^2(x)cos^2(x)} dx$

$= \int \frac{1}{2(\frac{1}{2}sin(2x))^2} dx$

$= \int \frac{1}{\frac{1}{2}sin^2(2x)} dx$

$= 2 \int \frac{1}{sin^2(2x)} dx$

Substitution:
Sei

$t:=2x \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 2 \Rightarrow dx = \frac{1}{2} dt$

Weiter mit

$2 \int \frac{1}{sin^2(t)} \frac{1}{2} dt$
$= \int \frac{1}{sin^2(t)} dt$
$= -\frac{cos(t)}{sin(t)} = -cot(t)$

Rücksubstitution führt zu
$\int \frac{1}{2sin^2(x)cos^2(x)} dx = -cot(2x)$

MfG

flosko

hey danke!
wenn man klug ersetzt wirds ganz schnell lösbar...

mfG

flosko

hm, ich hab das ganz jetzt nochmals mittels Derive gelöst und bekomm als Ergebnis folgendes heraus:
(SIN(x) - 1/(2·SIN(x)))/COS(x)
bzw umgeformt, weil übersichtlicher:
TAN(x) - 1/(2·SIN(x)·COS(x))

das ist doch nicht das selbe wie -cot(2x) ...
oder gibts hier wieder einen bestimmten zusammenhang?
kann mir das jemand erklären?

mfg
flo

WebFritzi

Wie wär's mit Ableiten zum Test... ?

flosko

also der cot(x) -> -1/sin²x

d.h.:
cot(2x) -> -2/(sin²(2x))
aus 1/2sin(2x) = sin²x
folgt weiter
-2/(sin²(2x)) = -2/(2sin²x)²
= -1/(2sin^4(x))
= -1/(2(1-cos²x)sin²x)
= -1/(2-2cos²x*sin²x)

das ist zwar fast die Angabe, aber eben nicht ganz...
kann man da noch weiter umformen oder hab ich wo nen fehler?