Basis eines (unter)Vektorraumes bestimmen

[elise]

hallo

ich weiß, eine basis eines vektorraums V ist eine teilmenge T in V dieses raumes, der dadurch bestimmt wird, daß T linear unabhängig ist und ein erzeugendensystem von V ist.

nun meine frage:

wenn ich den vektor (x₁ x₂ x₃) element R3 für den gilt:
x₁ -2x₂ + x₃ = 0
habe, und soll die basis bestimmen und die dimension, dann sehe ich folgendes:

zur dimension:
ich kann auflösen nach x₁ : x₁ =2x₂ - x₃

und daher erhalte ich dimension 2, da ein vektor von den anderen beiden abhängt. soweit so gut.

nun zur basis:
ich finde zum beispiel folgende zwei, linear unabhängige vektoren:
(3 2 1) und (7 7 7).

diese sind nun eine basis von eventuell vielen.
nur: wie mache ich das "abstrakt"?
also muss ich für das finden der basis mehr bieten als ein beispiel?

thanks.

[Bashar]

Spontane Idee:
Du hast ja so aufgelöst: $x\_1 = 2x\_2 - x_3$
Jetzt kannst du jeden Vektor $\in V$ so ausdrücken:

$\left ( \begin{array}{c}2x\_2 - x\_3 \\ x\_2 \\ x\_3\end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c}2x\_2 \\ x\_2 \\ 0\end{array} \right ) + \left ( \begin{array}{c}-x\_3 \\ 0 \\ x\_3\end{array}\right ) = x_2 \left ( \begin{array}{c}2\\1\\0\end{array} \right ) + x_3 \left ( \begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array} \right )$

Du erhältst dadurch sofort 2 Basisvektoren.

[elise]

ich bin doof.

thanks