Gleichung im Komplexen lösen

[Zickedi]

Ich habe $x^3 = i$

Es gibt 3 Lösungen für die Gleichung.
Ich finde jedoch nur eine. Da ist mir noch nicht alles klar.

Ich forme um: z^3 = e^{90°i}
Dann folgt: z = \sqrt[3]{i} = e^{\frac{90°i}{3}} = e^{30°i}

Nur wie geht's dann weiter ?

[Jester]

Wo kommt die 90 her?
Der Exponent muß im Bogenmaß sein.
Ansonsten würde ich Dir empfehlen, einfach mal die Gleichung so aufzufassen:

x^3-i=0

-i ist Lösung... jetzt teilst Du durch x+i und löst die resultierende Gleichung mit der p-q Formel.

MfG Jester

[Bashar]

** mist **

[Zickedi]

Das sind 90°, 30°. So stehts auch in den Lehrbüchern drin.

Deinen Ansatz probier ich morgen mal aus. Jetzt ist es schon spät.

[WebFritzi]

Zickedi schrieb:

So stehts auch in den Lehrbüchern drin.

Oh Gott! Was müssen das für Lehrbücher sein. Nene, man macht das über die Moivre-Formel (ich glaub, so heißt die). Also, hat man die Gleichung

$z^n = r\cdot e^{i\varphi}$

gegeben, dann ist

$z = r^{\frac{1}{n}}\cdot e^{ \frac{i\varphi + 2k\pi}{n} }$

für k=0,...,n-1 bzw. k=1,...,n. Man hat also n Lösungen.

[Zickedi]

Genau so. Hab ich ja im ersten Beitrag so geschrieben.
Nur war mir nicht klar, wie man auf die anderen Lösungen kommt.

Ich frage mich, wieso schreiben die dann die Lösungen im Gradmaß, wenn Standard Bogenmaß ist.

[WebFritzi]

Das frag ich mich auch. Vor allem kann man hier von Standard garnicht reden. e^z ist eine wohldefinierte Funktion, und e^(90i) ist eben was anderes als e^(pi/2). Dein Buch ist schlecht!

[Bashar]

Normalerweise schreibt man dann e^(90°i) ... dann ist es wieder eindeutig.

[Zickedi]

Es handelt sich hier um den Papula Band2.