Funktiongleichung

2 Fragen die mich mal interessieren würden.
Also: Im Gymnasium machen wir Kurvendiskussion.
Wendepunkte, Extremstellen etc....

Nun meine Frage:
Immer erhalten wir zu diesen Aufgaben die Gleichung gegeben.
Aber mal angenommen ich hätte nun 10 Punkte gegeben, wie komme ich
von denen auf eine Gleichung, die ich dann diskutieren könnte?
Oder ist so etwas unmöglich?

2.Frage.
Wie erstelle ich eine Inverse Matrix?
Ich hab da zwar etwas gefunden, aber geht das nicht weniger aufwendig?
http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/scripts/inversematrix.htm

Danke für alle Antworten.

Jester

Zu Frage 1: Ja sowas geht. Du mußt Dir allerdings zuvor überlegen, was für eine Funktion es sein soll. Möglich ist zum Beispiel sowas wie ein Polynom. Für 3 Punkte brauchst Du ein Polynom von Grad 2.

Ein Ansatz dafür ist zum Beispiel: Seien die Punkte (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3),

p(X) = c0 + c1(X-x1) + c2*(X-x1)(X-x2)

y1 = p(x1) = c0
y2 = p(x2) = c0 + c1(x2-x1) nach c1 auflösen
und so weiter.

Das ganze verallgemeinert sich auch leicht auf mehr Punkte.

Zu 2:

Naja, es gibt wohl nichts wesentlich einfacheres. Man sollte sich halt immer genau überlegen, ob man wirklich die Inverse braucht. Wenn sie aber nötig ist, dann kommt man, wenn die Matrix nicht irgendein Spezialfall ist wohl nicht drum rum.

MfG Jester

lustig

Ich möchte noch etwas anfügen. Wenn du ein Polynom 2. Grades durch 3 Punkte legen willst ist das einfach, wie Jester gezeigt hat. Es wird allerdings komplizierter, wenn du ein Polynom 2. Grades durch 10 Punkte legen willst. Das Problem ist dann, dass das Polynom nicht mehr durch alle Punkte gehen muss. Wenn du dann per Zufall 3 Punkte auswählst und dann die Funktion durchlegst wirst du wahrscheinlich eine Parabel erhalten, welche zwar durch diese 3 Punkte geht, aber von gewissen anderen einen viel zu grossen Abstand hat. Es gibt aber auch Verfahren die man Anwenden kann um die bestmögliche Funktion zu finden. Dieses Verfahren nennt man Regression. Das wird z.B. gebraucht wenn man in der Physik eine Messreihe macht und dann durch die so gewonnenen Punkte eine Funktion legen möchte.

asmodis

Es gibt die Lagrangsche Interpolations-Formel, die dir, wenn du n Punkte hast, ein Polynom vom Grad <= n-1 liefert.

Walli

Ich habe neulich ein kleines Konsolenprogramm geschrieben was das Polynom berechnen kann nach dem Newton-Verfahren (-> meine HP).

Ja, das Programm von Masta ist genau das, was ich im Sinn hatte.
Sehr nützlich. Ich werd mir allerdings auch nochmal die Lagrange-Interpolation ansehen und ich habe auch noch etwas nützliches über Annäherung an Funktionen
mit Hilfe von neuralen Netzen gefunden.
Das zusammen sollte hinhauen