4. Mal wieder Grenzwerte

Mal wieder Grenzwerte

  • ?

    Wie berechnet man die Grenzwerte solcher Folgen (für n→∞n\rightarrow\infty)?

    an=n+n−n−na_n = \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}}

    an=n(5−5−2n)a_n = n\left( \sqrt{5} - \sqrt{5 - \frac{2}{n}}\right)

    Gibt's da ne allgemeine Vorgehensweise?

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  • W

    Beim ersten hab ich grad keine Idee. Beim zweiten machst du mit dem Faktor n einen Bruch aus dem ganzen Ding:
    an=(5−5−2n)1na_n = \frac{\left( \sqrt{5} - \sqrt{5 - \frac{2}{n}}\right)}{\frac{1}{n}}
    Dann kannst du l'Hopital anwenden.

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  • W

    Mir ist was eingefallen:

    an=n+n−n−na_n = \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}}

    Du erweiterst...

    an=(n+n−n−n)(n+n+n−n)(n+n+n−n)a_n = \frac{(\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}})(\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}})}{(\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}})}

    ...nun löst du das Binom auf...

    an=(n+n)2−(n−n)2(n+n+n−n)a_n = \frac{(\sqrt{n + \sqrt{n}})^2 - (\sqrt{n - \sqrt{n}})^2}{(\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}})}

    ...nun vereinfachen...

    an=2⋅n(n+n+n−n)a_n = \frac{2\cdot\sqrt{n}}{(\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}})}

    ...und nun kannst du l'Hopital anwenden.

    EdIT: Leerzeilen eingefügt

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  • J

    Ach, dieser blöde l'Hopital macht alle schönen Grenzwertaufgaben kaputt. Aber wenn man sowas lösen muß darf man meist noch keinen l'Hopital anwenden. 🙂

    1. Der Term ist ja von der Form (a-b), dann erweitere mal mit (a+b)
      dann erhältst Du: (a²-b²)/(a+b) in diesem Fall ist der Nenner dann 2*√n Dann kannste einfach noch mit √n durchkürzen und n-->∞ laufen lassen. Fertig.

    2. Würd ich mal analog versuchen. Sieht eigentlich ganz gut aus.

    MfG Jester

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  • J

    MaSTaH schrieb:

    ...und nun kannst du l'Hopital anwenden.

    😞 nicht schon wieder der Holzhammer!
    Durchkürzen mit Wurzel(n) genügt doch vollkommen.

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  • W

    Stimmt, hab ich nicht gesehen. Aber wieso antwortest du zwei mal auf den selben Beitrag mit dem selben Lösungsvorschlag (→n\sqrt{n} kürzen)?

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  • ?

    Gut, wenn ich da mit Wurzel(n) durchkürze, sieht das ganze so aus, oder?
    2nn+1+n−1\frac{2\sqrt{\sqrt{n}}}{\sqrt{\sqrt{n}+1}+\sqrt{\sqrt{n}-1}}

    Und hier näher ich dann einfach durch streichen der Einsen, wonach sich alles wegkürzt und der Grenzwert eins ist?

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  • J

    @MaSTaH: Das war eine Reaktion auf Deinen zweiten Beitrag, der vor meinem ersten Beitrag noch nicht da war.

    @keinSchimmer:

    Mit kürzen ist wirklich kürzen gemeint, also Zähler und Nenner durch √n teilen.

    MfG Jester

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  • ?

    @Jester:
    Ich dachte das hätte ich?! 😞
    Ausgangspunkt war diese Gleichung von MaSTaH:

    an=2n(n+n+n−n)a_n = \frac{2\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}\right)}

    Wenn ich da mit Wurzel(n) kürzen will muss ich n in irgendeiner Potenz aus den Wurzelsummen bekommen, oder?

    an=2nn⋅(n+1+n−1)a_n=\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{\sqrt{n}}\cdot\left(\sqrt{\sqrt{n}+1}+\sqrt{\sqrt{n}-1}\right)}

    Jetzt kürzen mit Wurzel(n).

    an=21n⋅(n+1+n−1)a_n=\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{\sqrt{n}}}\cdot\left(\sqrt{\sqrt{n}+1}+\sqrt{\sqrt{n}-1}\right)}

    Zu umständlich? Völlig falsch? Hast du was ganz anderes gemeint?
    (Du hast oben auch schon von Wurzel(n) im Nenner geredet. Dachte das sei ein Flüchtigkeitsfehler gewesen, bei mir - bzw. bei MaSTaH - taucht es nur im Zähler auf(?))

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  • ?

    Mach dir das leben doch nicht so schwer. Teil einfach Zähler und Nenner durch
    2*sqrt(n). Dann bekommst

    1 / [ sqrt( (n + sqrt(n)) / (4*n) ) + sqrt( (n - sqrt(n)) / (4*n) ) ]

    = 1 / [ sqrt( (1/4 + sqrt(n)/(4*n) ) + sqrt( (1/4 - sqrt(n)/(4*n) ) ]

    mit n gegen inf erhällst du

    1 / [ sqrt( 1/4 + 0) + sqrt (1/4 - 0) ] = 1

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  • J

    @KeinSchimmer:

    Jetzt paßt's, aber im vorherigen Beitrag hattest Du ne Doppelwurzel auf dem Bruchstrich stehen.

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  • ?

    Ja, das war einfach die Doppelwurzel, die jetzt unterm Bruchstrich steht nach oben gebracht.
    Jedenfalls sollte es so glaub passen, vielen Dank an alle Beteiligten 🙂

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