aufgabe: extremwert + länge einer kurve

hi ich hab noch ne frage!

ich bin mir nicht sicha ob ich da richtig rechne!!:
http://gerii.com/bildb.jpg

aufgabe 6.)
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die länge eines kurvenbogens mit regulärer parameterdarstellung
x=x(t), y=y(t), x(t)²+y(t)² ist nich 0, a kleinger gleich t kleicher gleich b, beträgt:

b (obere Grenze)
L= Integral ( Wurzel ( x(t)² + y(t)² * dt ) )
a (untere Grenze)

ich hab dann folgens gerechnet:
1
L = Integral ( Wurzel ( (1/30)² + (1/10)² * dt ) )
0
-------------
L = 0,3651484
-------------

ich weiß nicht ob das stimmt!!?????

aufgabe 5.)
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da weiß ich nicht recht wie ich anfangen soll!???

bitte um hilfe!!

cu

WebFritzi

Zu 6.

$\begin{eqnarray*} x(t) &=& \frac{1}{3}t^3\\ y(t) &=& \frac{1}{2}t^2\\ l &=& \int_0^1\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)}dt \end{eqnarray*}

Bitte setz doch einfach ein. Und ich glaube, zu 5. hast du so wenig Durchblick, dass du die Aufgabenstellung einfach falsch widergegeben hast. p(t) kann nie 1000 sein, außer, t ist negativ.

Bitte setz doch einfach ein. Und ich glaube, zu 5. hast du so wenig Durchblick, dass du die Aufgabenstellung einfach falsch widergegeben hast. p(t) kann nie 1000 sein, außer, t ist negativ.

danke webfritzi;-)
zu 6:
ich bekomm das raus: L = 0,3651484 stimmt das dann e??
kannst du die formel für die Länge der Kurve mir erklären, wie man auf die kommt??? da werden ja unendlich kleine teilstücke genommen und dann der limes irgendwie berechnet!!???

zu 5:
ja hab ich auch gemerkt...aber wenn man nur t=2004 weiss, dann is ja die aufgabe zu leicht....da fehlt glaubi no was!?? kannst du vielleicht das bissi schwerer machen..und ich löse es dann!??;-)

danke!!!

cu

WebFritzi

nike. schrieb:

kannst du die formel für die Länge der Kurve mir erklären, wie man auf die kommt??? da werden ja unendlich kleine teilstücke genommen und dann der limes irgendwie berechnet!!???

Right! Wir teilen mal das Intervall [0,1] in N äquidistante (gleichlange) Teilstücke auf: 0=t\_0 < t\_1 < t\_2 <\dots < t\_{N-1} < t_N = 1. Dabei soll nun also jede Differenz $t_{k+1}-t_k$ gleich groß sein. Nennen wir sie $\Delta t$ . Die Länge des Kurvenbogens ist dann die Summe der Längen aller Teilbogenstücke von $\varphi(t_k)$ bis $\varphi(t_{k+1})$ . Dabei sei $\varphi(t)=(x(t),y(t))$ . Wir betrachten nun ein solches Teilbogenstück. Die Länge dessen ist nun ungefähr die Länge des Vektors $\varphi(t_{k+1})-\varphi(t_k)$ . Und je größer N ist, desto besser sind wir mit dieser Annäherung dabei. Bezeichnet $\|x\|$ die Länge eines Vektors $x$ , so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} l &\approx& \sum_{k=1}^N \|\varphi(t\_k)-\varphi(t\_{k-1})\| \\ &=& \sum_{k=1}^N \frac{\|\varphi(t\_k)-\varphi(t\_{k-1})\|}{\Delta t}\cdot\Delta t\\ &=& \sum_{k=1}^N \big\|\frac{\varphi(t\_k)-\varphi(t\_{k-1})}{\Delta t}\big\|\cdot\Delta t\\ \end{eqnarray*}

Lassen wir nun N gegen Unendlich gehen, wir das $\approx$ zum Gleichheitszeichen, die Summe zum Integral, $\Delta t$ zu dt und der Bruch zur Ableitung, denn der Bruch ist gerade der Differentialquotient:

$l = \int_0^1 \|\varphi '(t)\| dt$

Nun, und da φ'(t) = (x'(t), y'(t)), folgt die Formel.

danke danke!!!