Der Logarithmus von negativen Zahlen...

davie

... muss doch irgendwie definiert sein.
Ein Freund hat gemeint, dass

Eine komplexe Zahl z kann man als z=a*e^(i*b) schreiben... Es gilt dann ln(z)=ln(a)+i*b. "b" ist dabei ein Winkel (das da oben ist die Polarkoordinaten-Darstellung). Man bezeichnet das Ergebnis dann als Hauptwert, wenn -Pi < b <= Pi gilt.

uff, wir werden komplexe zahlen, wie es mit der lehrerin aussieht, wahrscheinlich nicht einmal durchnehmen...
Also kurz: Ich hab keine Ahnung, wie man so etwas lösen könnte
die aufgabe ist einfach:

Mathestudent schrieb:

ld (-4)

Aber was kommt raus?
Mein Freund meinte

Freund schrieb:

ld(-4) = (1/(ln(2)) * (ln(4) + i*Pi)

(sorry, ohne latex tags- einfach gecopy&pastet)
sei der hauptwert, ist sich aber nicht sicher.
da ich annehme, dass der mathestudent uns mit dem beispiel eh nur zeigen will, dass der logarithmus für negative zahlen nicht definiert ist, spielt es auch keine große rolle, was rauskommt (unendlich viele lösungen anscheinend) oder was der hauptwert ist.
aber rein aus interesse würde ich das natürlich schon wissen wollen

der exponent ist reell. die basis muss komplex sein.

WebFritzi

Was zum Teufel ist "ld"?

Gregor

WebFritzi schrieb:

Was zum Teufel ist "ld"?

Logarithmus zur Basis 2?

Jester

Der ln ist die Umkehrung der e-Funktion. Von welcher e-Funktion? Natürlich von der reellen, die ist nämlich injektiv, das heißt: x!=y => exp(x)!=exp(y), also kann man sie umkehren. Damit ist auch klar, wo der ln definiert ist: auf R⁺ und sonst nirgends.
Die komplexe e-Funktion kann man nicht umkehren, da sie nicht injektiv ist. e^i*Pi = e^3*i*Pi, aber 3*Pi!=Pi

Der Wert den Dein Freund angegeben hat erfüllt zwar die Bedinung, daß beim einsetzen in die e-Funktion -4 rauskommt. Aber deswegen ist noch lange kein Logarithmus definiert. Denn der Logarithmus ist eine Funktion und der Funktionswert müßte daher eindeutig bestimmt sein. Ist er aber nicht.

MfG Jester

absolute_beginner

Gemeint ist wahrscheinlich "lb", der Logarithmus zur Basis 2.

WebFritzi

Jester, nicht so viel sülzen: wissen! Natürlich gibt es einen komplexen Logarithmus. Die e-Funktion ist auf jedem Streifen

$S_r = \big\{ a+bi : a\in\mathbf{R},\,\, r-\pi < b \le r+\pi\big\}$

injektiv und bildet diesen auf ganz $\mathbf{C}\setminus\{0\}$ ab. Daher kann man eine Umkehrfunktion $ln: \mathbf{C}\setminus\{0\}\to S_0$ definieren. Diese ist lediglich nicht in Null definiert. Daher kann man aber ganz sicher ln(-4) berechnen, nämlich ln(-4) = ln(4) + i*π.

Walli

absolute_beginner schrieb:

Gemeint ist wahrscheinlich "lb", der Logarithmus zur Basis 2.

Also ich kenne den nur als ld. Steht afaik für logarithmus dualis.

Jester

Jo, klar durch Einschränkung kann man das schon machen. Aber es ist damit nicht die Umkehrfunktion der komplexen e-Funktion. Sondern eben nur eingeschränkt auf einen bestimmten Bereich.

MfG Jester

absolute_beginner

MaSTaH schrieb:

absolute_beginner schrieb:

Gemeint ist wahrscheinlich "lb", der Logarithmus zur Basis 2.

Also ich kenne den nur als ld. Steht afaik für logarithmus dualis.

Aus der Schule habe ich Folgendes mitgenommen:

lb : der Logarithums zur Basis 2
ln : der Logarithmus zur Basis e
lg : der Logarithmus zur Basis 10
log: der Logarithmus zu einer beliebigen Basis

Aber wir meinten dasselbe... also ****** drauf!

Walli

Wikipedia meint, dass wir beide Recht haben (ld = lb = log₂).

Mis2com

lb und ld ist das Gleiche, es gibt beide Bezeichnungen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus
lb = ld = log2: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus