"Selbstähnliche" Funktionen
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Für welche Funktionen gilt f(b * x) = a(b) * f(x)? Dabei soll b eine von 0 und 1 verschiedene reelle Zahl und x aus IR oder IR+ sein.
Gefunden habe ich schon die Potenzfunktionen f(x) = c * x^r mit b beliebig aus IR [wegen f(b * x) = c * b^r * x^r = b^r * f(x)], aber sind das wirklich alle möglichen, und wie findet man (ggf.) weitere???
Existiert dazu vielleicht schon eine Theorie?
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was soll denn a sein?
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a ist eine Konstante, deren Wert aber von b abhängig sein kann.
Bspw. ist a für die Funktion f(x) = 17 einfach 1 für beliebige b, denn f(b x) = 17 = 1 * f(x)
Hat man dagegen f(x) = 5 x³ und wählt b = 7, dann ist f(7 x) = 5 * (7 x)³ = 5 * 343 * x³ = 343 * f(x), darum ist dann a = 343.
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Hier meine 'Forschungen':
Zunächst erfinde ich mal ein schönes, griechisch klingendes Fremdwort für selbstähnlich: "Autid"! Wem was besseres einfällt, bitte melden.
Wenn man zwei autide Funktionen miteinander multipliziert, bekommt man eine neue autide Funktion:
f1(b * x) = a1(b) * f1(x), f2(b * x) = a2(b) * f2(x) ==> f(x) := f1(x) * f2(x) ist wieder autid, denn
f(b * x) = f1(b * x) * f2(b * x) = a1(b) * f1(x) * a2(b) * f2(x) = a(b) * f(x) mit a(b) := a1(b) * a2(b)
Da eine konstante Funktion autid ist, gilt, daß die Multiplikation einer autiden Funktion mit einer Konstanten wiederum auf eine autide Funktion führt.
Jedoch wenn man zwei autide Funktionen addiert, muß keineswegs eine neue autide Funktion herauskommen.
Sei f(x) := f1(x) + f2(x) mit f1(b x) = a1 * f1(x) und f2(b x) = a2 * f2(x). Wenn nun f(b x) = a * f(x) = a * (f1(x) + f2(x)) gilt, so muß offenbar a1 = a2 = a sein.
Bleiben wir bei den Potenzfunktionen. Praktischer Weise nehme ich f1(x) = c * x^r, a1(b) = b^r; f2(x) = 1, a2(b) = 1
f(x) := f1(x) + f2(x) = c * x^r + 1
Autidität besteht nur dann wenn
f(b * x) = b^r * f1(x) + 1 * f2(x) = b^r * c * x^r + 1 = a * (c * x^r + 1)
Dies erfordert a = 1, und damit f(b * x) = f(x). Also muß b^r = 1 sein, und reelle Wurzeln dieser Gleichung sind 1 (verboten!!) sowie eventuell noch die -1.
Betrachten wir die Ableitung (falls existent) einer autiden Funktion f(x) an der Stelle x = 0:
d / dx f(b x) = b * f'(y) mit y := b x
Wegen d / dx f(b x) = a * d / dx f(x) ==> b * f'(y) = a * f'(x)
gilt an der Stelle x = y = 0:
b * f'(0) = a * f'(0)
Vorausgesetzt, daß f'(0) existiert und von Null verschieden ist, gilt a = b, und damit f(b x) = b f(x)
Betrachten wir die 2. (3., etc.) Ableitung (falls existent) einer autiden Funktion f(x) an der Stelle x = 0:
d² / dx² f(b x) = b² * f''(y) mit y := b x
Wegen d² / dx² f(b x) = a * d² / dx² f(x) ==> b² * f''(y) = a * f''(x)
Vorausgesetzt, daß f''(0) existiert und von Null verschieden ist, gilt a = b².
Analog findet man für die k-te Ableitung von f, daß a = b^k falls die k-te Ableitung von f an der Stelle x = 0 existiert und von Null verschieden ist.
Falls also die i-te und die k-te (k ≠ i) Ableitung von f an der Stelle x = 0 existiert, gilt a = b^i = b^k, was auf b = 0, 1 oder -1 führt.
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Vorausgesetzt die audite Funktion ist analytisch, so kann man sie um den Nullpunkt taylor-entwickeln. Sind jetzt mindestens 2 von den Ableitungen an der Stelle 0 verschieden von 0,so gilt, dass b nur -1, 1, oder 0 sein kann, wie Du bereits gemeint hast. Also gibts höchstens eine Ableitung an der Stelle 0, die verschieden von 0 ist. Die auditen Funktionen sind also Summe einer Konstanten und einer Potenzfunktion. Der konstante Teil muss wohl 0 sein.
Somit ist die gesuchte audite Funktion eine Potenzfunktion