Problem mit Konkatenation

Walli

Also, ich schaue mir gerade folgende Aufgabe an:

$$Es seien $f : X \rightarrow Y$ und $g : Y \rightarrow Z$ zwei Abbildungen derart, dass die Konkatenation $h = f \circ g : X \rightarrow Z$ bijektiv ist. \begin{itemize} \item[a)] Geben Sie ein Beispiel f"ur obige Situation an, in dem weder f noch g bijektiv ist. \item[b)] Welche notwendigen Bedingungen m"ussen f und g erf"ullen, damit h bijektiv ist? Sind diese Bedingungen auch hinreichend? \end{itemize}

Bei a) würde ich so spontan sagen, dass es nicht geht. Mir fällt kein vernünftiges Beispiel ein, welches die Kriterien erfüllt. Dementsprechend habe ich auch keinen Denkansatz für b). Wäre echt cool, wenn mit jemand einen Anstoß geben könnte.

Gruß,

Mastah

Jester

Nimm mal

X={1}, Y=|N, Z={1}

f sei die Inklusionsabbildung, g die Abbildung, die jede Zahl auf die 1 abbildet.

Das sollte funktionieren.

MfG Jester

Walli

Danke Jester ! Auf die einfachsten Dinge kommt man oft nicht. Gut, die a) wäre damit erledigt.

Ist eine der geforderten Bedingungen bei b), dass X = Z oder ist das in deinem Beispiel nur zufällig so?

Bei b) sollst du dir ja weniger Gedanken über die Mengen, als über
die Abbildungen machen. Ich denke über die Mengen lässt sich nur sagen,
dass sie - falls sie endlich sind - gleich viele Elemente haben müssen.
Für die Abbildungen muss wohl gelten:
f surjektiv, g injektiv, wobei das nur notwendig, aber nicht hinreichend ist.

Jockel

Ich meinte umgekehrt:

f injektiv, g surjektiv

Walli

Dank dir!

WebFritzi

Jockelx schrieb:

f injektiv, g surjektiv

Nö. Wenn f\ball g bijektiv sein soll, muss f surjektiv und g injektiv sein. Das ist aber nicht hinreichend!

Jockelx schrieb:

Ich denke über die Mengen lässt sich nur sagen,
dass sie - falls sie endlich sind - gleich viele Elemente haben müssen.

Falsch! X und Z müssen gleich viele Elemente haben, ja. Aber Y muss nur mehr oder gleich viele Elemente haben wie X oder Z.

@Mastah: Deine Mengenangaben in der Aufgabe stimmen nicht!

Taurin

Jester schrieb:

X={1}, Y=|N, Z={1}

f sei die Inklusionsabbildung, g die Abbildung, die jede Zahl auf die 1 abbildet.

Des Intresses halber: Was ist die Inklusionsabildung? Und gibt es auch eine
Exklusionsabildung?