4. Integral (0,1)arcsin^2 x gesucht (analytisch)

Integral (0,1)arcsin^2 x gesucht (analytisch)

  • S

    Gesucht ist:
    ∫01arcsin2xdx\int_{0}^{1}\arcsin^2 x dx

    Ich habs mit partieller Integration zu berechnen versucht und fand:
    ∫01arcsin2xdx=π4−∫01(xarcsinx+1−x2)(11−x2)dx\int_{0}^{1}\arcsin^2 xdx = \frac{\pi}{4} - \int_{0}^{1}(x\arcsin x + \sqrt{1-x^2})(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})dx
    =π4−∫01xarcsinx1−x2dx−1=\frac{\pi}{4} - \int_{0}^{1}\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx - 1

    Nachdem ich nochmals partial integriert habe fand ich:
    ∫01arcsin2xdx=π4−π24+∫01arcsin2xdx+∫01xarcsinx1−x2dx−1\int_{0}^{1}\arcsin^2 xdx = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi^2}{4} + \int_{0}^{1}\arcsin^2xdx + \int_{0}^{1}\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx - 1
    Und damit:
    ∫01xarcsinx1−x2dx=1−π4+π24\int_{0}^{1}\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx = 1 - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi^2}{4}

    Setzt man das jetzt oben ein bekommt man:
    ∫01(arcsin2x)dx=2π−π24−2\int_{0}^{1}(\arcsin^2 x)dx = \frac{2\pi - \pi^2}{4} - 2

    Wie man sehen kann ist dieses Integral negativ, und das kann es ja wohl nicht sein. Wo hab ich also den Fehler gemacht? Oder hat jemand einen besseren Ansatz?

    Besten Dank fürs Durchsehen.
    Sam

    0
  • W

    Also deine Lösung scheint nicht ganz richtig zu sein:

    ∫arcsin2x dx=arcsin2x⋅x−2x+2 arcsin(x)1−x2\int arcsin^2x~dx=arcsin^2x\cdot x-2x+2~arcsin(x)\sqrt{1-x^2}

    Demnach müsste die Lösung lauten:

    ∫01arcsin2x dx=arcsin2(1)−2−2 arcsin(0)=π24−2\int_{0}^{1} arcsin^2x~dx=arcsin^2(1)-2-2~arcsin(0)=\frac{\pi^2}{4}-2

    0
Anmelden zum Antworten