Stammfunktion zu f(x) = exp(x)*sin(x)

Hallo,

ich habe ein Problem bei der Bestimmung der Stammfunktion zu:
f(x) = exp(x)*sin(x).

Ich weiß, es gibt einen ganz einfachen Trick, aber er ist mir entfallen.

Mfg,
jens

Setec Astronomy

Was meinst Du mit exp(x) ?? e hoch x ??

Wenn ja , so ist: ∫exp(ax)*sinbx dx =

e^(ax)
------------(asin bx - b cos bx)
(a^2)+(b2)

volkard

jo, die produktregel
wenn ich das noch kann, kommt also exp(x)*cos(x)+exp(x)*sin(x) raus.

WebFritzi

Partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} \int e^x\sin x dx &=& e^x\sin x - \int e^x\cos x dx\\ &=& e^x\sin x - \Biggl( e^x\cos x - \biggl( -\int e^x\sin x dx\biggr) \Biggr)\\ &=& e^x (\sin x - \cos x) - \int e^x\sin x dx \end{eqnarray*}

Daraus folgt dann

$\int e^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x)$ .

WebFritzi

@volkard: Du solltest nicht differenzieren sondern integrieren.

volkard

WebFritzi schrieb:

@volkard: Du solltest nicht differenzieren sondern integrieren.

ups. da hab ich mir es aber leicht gemacht.

WebFritzi schrieb:

Partielle Integration:
$\begin{eqnarray*} \int e^x\sin x dx &=& e^x\sin x - \int e^x\cos x dx\\ &=& e^x\sinx - \Biggl( e^x\cos x - \biggl( -\int e^x\sin x dx\biggr) \Biggr)\\ &=& e^x (\sin x - \cos x) - \int e^x\sin x dx \end{eqnarray*}
Daraus folgt dann

$\int e^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x)$ .

Ich kann dir irgendwie nicht folgen. Mein Problem bei der part. Integration war, dass ich nie zum Ende gekommen bin, weil immer e^x und sin oder cos in dem integral standen. die schritte 2 und 3 sowie die folgerung kapiere ich so ohne weiteres nicht...

volkard

jensi schrieb:

Ich kann dir irgendwie nicht folgen. Mein Problem bei der part. Integration war, dass ich nie zum Ende gekommen bin, weil immer e^x und sin oder cos in dem integral standen.

jo, es bleibt auch immer e^x und sin(x) oder cos(x) übrig.
macht aber nix. man kriegt das integral weg, weil da dann steht:

$\begin{eqnarray*} \int e^x\sin x dx &=& e^x (\sin x - \cos x) - \int e^x\sin x dx \end{eqnarray*}

also sowas wie
A = blabla - A
man macht es ohne schwierige tricks zu
A+A = blabla

edit: und das klappt oft, wenn man sin(x) und noch so nen kram im integral hat und die partielle integration zweimal macht.

Walli

jensi schrieb:

Ich kann dir irgendwie nicht folgen. Mein Problem bei der part. Integration war, dass ich nie zum Ende gekommen bin, weil immer e^x und sin oder cos in dem integral standen. die schritte 2 und 3 sowie die folgerung kapiere ich so ohne weiteres nicht...

Ich glaub ich weiß wieso du ein Problem hattest. WebFritzi hat nach Schritt 1 einmal ein Leerzeichen vergessen (\sinx anstatt \sin x). Der Latexparser hat das Ding dann verschluckt...

So stimmts...

WebFritzi schrieb:

Partielle Integration:
$\begin{eqnarray*} \int e^x\sin x dx &=& e^x\sin x - \int e^x\cos x dx\\ &=& e^x\sin x - \Biggl( e^x\cos x - \biggl( -\int e^x\sin x dx\biggr) \Biggr)\\ &=& e^x (\sin x - \cos x) - \int e^x\sin x dx \end{eqnarray*}
Daraus folgt dann

$\int e^x\sin x dx = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x)$ .

WebFritzi

MaSTaH schrieb:

Ich glaub ich weiß wieso du ein Problem hattest. WebFritzi hat nach Schritt 1 einmal ein Leerzeichen vergessen (\sinx anstatt \sin x). Der Latexparser hat das Ding dann verschluckt...

Danke, hab's verbessert.