Extremstellen an Funktionen mit 2 Parametern finden

f(x,y):=(2x+2y)*(1000/xy +y) \\ =\frac{2000}{y}+2xy+\frac{2000}{x}+2y^2

soll nach Hoch- und Tiefpunkten untersucht werden (also 1. Ableitung gleich 0)

$f_x'(y):=-\frac{2000}{y^2}+2x+4y \\ -\frac{2000}{y^2}+2x+4y=0 \\ 2(x+2y)=\frac{2000}{y^2} \\ x+2y=\frac{4000}{y^2} \\ xy^2+2y^3=4000 \\ xy^2+2y^3=\frac{4000}{xy^2} \\ 2y^5=\frac{4000}{x} \\ y^5=\frac{8000}{x} \\ \\ f_y'(x):=2y-\frac{2000}{x^2} \\ 2y-\frac{2000}{x^2}=0 \\ 2y=\frac{2000}{x^2} \\ x=\sqrt{\frac{2000}{2y}} \\ $

wie komm ich weiter? bzw. wie müsste ich ansätzen?

Bashar

Beide Ableitungen müssen gleichzeitig 0 sein => GLS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

WebFritzi

Ganz ehrlich: Lass es lieber. Lerne erstens zu rechnen und zweitens abzuleiten. Das, was du da schreibst, ist alles grottenfalsch! Sorry.

Krösus

f(x,y) := (2x + 2y) * (1000 / xy + y) = x * (1000 / xy + y) + y * (1000 / xy + y) = 1000 / y + xy + 1000 / x + y²
Daher
∂_xf(x,y) / 2 = -1000 / x² + y
∂_yf(x,y) / 2 = -1000 / y² + x + 2y
Nullsetzen der partiellen Ableitungen ergibt:
y = 1000 / x² ()
1000 / y² = x + 2y (**)
() einsetzen in (**):
1000 / (1000 / x²)² = x + 2 * 1000 / x²
1000 = x * (10⁶ / x⁴) + 2 * 1000 / x² * (10⁶/x⁴)
1000 = 100 * 10⁴ / x³ + 2 * 10⁹ / x⁶
Definiere z := 10⁴ / x³
1000 = 100z + 2 * 10z²
2z² + 10z - 100 = 0
z_1/2 = 1 / 4 * (-10 + √100+4*100*2) = (-10 + √900) / 4 = (-10 + 30) / 4 = -2,5 + 7,5
z₁ = -2,5 + 7,5 = 5 = 10000 / x₁³ ==> x₁³ = 2 * 10³ ==> x₁ = 10 * 2^1/3
z₂ = -2,5 - 7,5 = -10 = 10000 / x₂³ ==> x₂³ = -10³ ==> x₂ = -10
Einsetzen in (*) ergibt die zugehörigen y-Werte.