4. Beweis: Wurzel 9 eine rationale Zahl

Beweis: Wurzel 9 eine rationale Zahl

  • H

    Hallo! Wir haben in der schule bewiesen, dass Wurzel 2 keine rationale zahl ist. Und jetzt sollen wir zeigen wo der beweis bei Wurzel 9 versagt. Hier der beweis für die Wurzel 2:
    1. p hat Teiler 2, q keinen Teiler 2
    p=2*P'
    p²/q²=2
    p²=2q²
    (2p')²=2q²
    4p'²=2q²
    p'²=q²/2
    p kein element N
    2. p hat keinen Teiler 2, q hat Teiler 2
    p²/q²=2
    p²=2q²
    q=2q'
    p²=2(2q')²
    p²/2=4q'²
    p²/8=q'²
    q kein element N

    Wie geht das denn mit wurzel 9? Hat jemand von euch das schon ma gemacht?

    MFG

    Hansi

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  • H

    Ok hat sich erledigt... Wens interessiert hier is die lösung:
    http://www.klassenarbeiten.net/klassenarbeiten/klasse9/mathematik/ka1loesung.pdf

    MFG

    Hansi

    0
  • W

    Annahme:
    9=pq,p,q>0\sqrt{9}=\frac{p}{q}, p,q > 0
    ⇒9=(pq)2\Rightarrow 9=\left(\frac{p}{q}\right)^2
    ⇒9=p2q2\Rightarrow 9=\frac{p^2}{q^2}
    ⇒9⋅q2=p2\Rightarrow 9\cdot q^2=p^2
    ⇒3⋅q=p\Rightarrow 3\cdot q= p
    ⇒q=p3\Rightarrow q=\frac{p}{3}
    es gibt unendlich viele Zahlenpaare die dieses Kriterium erfüllen (p=3,q=1), (p=6,q=2)...

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  • W

    @Hansi: Dein Beweis ist nicht vollständig! Du hast 2 Fälle ausgelassen.

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  • H

    Ja ich weiß, aber die fälle erübrigen sich ich hatte nälich weggelassen,dass
    p und q Element N sind. Aber trotzdem danke.

    MFG

    Hansi

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  • W

    Hansi schrieb:

    Ja ich weiß, aber die fälle erübrigen sich ich hatte nälich weggelassen, dass p und q Element N sind. Aber trotzdem danke.

    Nein! Da erübrigt sich nichts. Dass p und q natürliche (oder zumindest ganze Zahlen) sind, war mir schon klar. Sonst könnte man doch garnicht von "Teiler" sprechen. Aber was ist mit den Fällen:

    3. p und q haben beide den Teiler 2
    4. p und q sind beide nicht durch 2 teilbar

    ???

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  • W

    Ich würde die Irrationalität von 2\sqrt{2} lieber auf Primfaktorzerlegung zurückführen. Wäre 2\sqrt{2} nämlich rational, dann wäre 2=p/q\sqrt{2} = p/q mit natürlichen Zahlen p und q. Daraus folgt 2q2=p22q^2 = p^2. Nun ist die Vielfachheit eines Primfaktors einer Quadratzahl stets gerade. (Beispiel: 122=(22⋅3)2=24⋅3212^2 = (2^2\cdot 3)^2 = 2^4\cdot 3^2. Hier kommt die 2 viermal vor und die 3 zweimal). In 2q22q^2 ist die Veilfachheit von 2 aber ungerade. Deshalb kann 2q22q^2 keine Quadratzahl sein. Ein Widerspruch zu 2q2=p22q^2 = p^2. 🙂

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  • M

    Mag sein, aber das haben die doch schon in der Schule gemacht. 🙄

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  • W

    Mis2com schrieb:

    Mag sein, aber das haben die doch schon in der Schule gemacht. 🙄

    WAS mag sein und WAS haben die schon in der Schule gemacht???

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  • H

    Ja das hat unser mathe-lehrer mit uns in der schule gemacht, deshalb... Trotzdem danke nochma an alle.

    MFG

    Hansi

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  • M

    @WebFritzi:
    Dien Bewies...

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  • W

    @mis2com: Lerne, "ei" zu schreiben. Außerdem ist mir durchaus bewusst, dass die das in der Schule schon gemacht haben. Ich wollte nur aufzeigen, dass es anders leichter geht. Im übrigen hättest du das auch kapiert, wenn du den Thread - insbesondere meinen Beitrag mit dem Beweis - besser durchgelesen hättest. BTW ist der erste Beweis immernoch unzureichend!

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