Polynome 3. Grades lösen?

Mis2com

Achso, man muss es einfach in Linearfaktoren spalten, um das zu verstehen?

Nagut, ich schau mir das FaQ Beispiel jetzt mal an.

PS: LOL, ich Depp habe gerade erst gemerkt, dass das Beispiel ja garnet richtig war. Sorry, bin heute leicht daneben. (zu lange geschlafen :()

Also,die Genauigkeiten der mit Näherungsverfahren berechnete Nullstellen liegt mindestens bei 8 Dezimalstellen und ist damit nicht ungenauer als eine algebraische Lösung!

Walli

@superc: *prust*

Mis2com

lol, *g*

Also ich habe das mit der Polynomdivison jetzt verstanden, bzw. ich weiß, wie es geht, aber nicht warum:

Z.B.

x^3 - 5x^2 + 2x + 2 = p(x)

Nullstelle: 1

Also Polynom teilbar durch: (x-1)

x^3 - 5x^2 + 2x + 2 : (x-1) =
x^3 - 5x^2

Und jetzt teilt man x^3 irgendwie durch das erste xⁿ im Divisor, d.h. x

also x^2
Das wird dann rechts irgendwie hingeschrieben und das rechnet man dann auch zurück:
x^2(x-1) = x^3-x2

x^3 - 5x^2 + 2x + 2 : (x-1) = x^2
x^3 - 5x^2
-(x^3-x2 - 5x^2)

=

x^3 - 5x^2 + 2x + 2 : (x-1) = x^2
x^3 - 5x^2
-(x^3-6x2)
-----------
0+x^2

Soweit korrekt?

Wenn ja: ich verstehe es nicht, warum macht man das so?

Wieso teilt man jetzt x^3 durch das erste xⁿ im Divisor, wieso darf man das?
Und wieso multipliziert man das dann zurück, ich weiß jetzt wie, aber das warum ist mir nicht klar...

MfG MAV

WebFritzi

Mis2com schrieb:

Soweit korrekt?

Nein! Du machst es dir viel zu kompliziert. Du kannst doch aus der Grundschule (!) noch die ganz normale schriftliche Division, oder? Das geht hier ganz genauso. Also:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2

Gut, das war schonmal richtig. Aber jetzt multiplizierst du einfach zurück. Das hast du zwar gemacht, aber du hast es falsch hingeschrieben. So geht das:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2
-(x^3 -  x^2)
--------------

So, jetzt haben wir zurückmultipliziert. Jetzt müssen wir subtrahieren. x^3-x3 = 0 und -5x^2-(-x2) = -5x^2 + x^2 = -4x^2. Klar? Also:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2
-(x^3 -  x^2)
--------------
      - 4x^2

So, und jetzt holst du dir den nächsten Teil runter:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2
-(x^3 -  x^2)
------------------
      - 4x^2 + 2x

und machst damit weiter. Tu's jetzt!

Mis2com

Mag sein, aber ich verstehe wie gesagt noch nicht, warum man durch das erste x^n teilen und das Ergebnis auf die rechte Seite der Gleichung schreiben darf.

Aber gut:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2 + 4x - 2 + 2/x - 2/(x^2)
-(x^3 -  x^2)
------------------
        4x^2 + 2x
      -(4x^2 - 4x)
      -----------------
             -2x + 2
           -(-2x + 2)
            ----------
                   2 + 0
                 -(2 - 2/x)
                  -------------
                      -2/x + 0
                    -(-2/x - 2/(x^2)(x-1))
                      -------------------
                             - 2/(x^2)(x-1)
...

Hm...

WebFritzi

Was ist wohl hieran falsch?

4x^2 + 2x 
-(4x^2 - 4x) 
----------------- 
       - 2x

WebFritzi

Mis2com schrieb:

Mag sein, aber ich verstehe wie gesagt noch nicht, warum man durch das erste x^n teilen und das Ergebnis auf die rechte Seite der Gleichung schreiben darf.

So genau weiß ich das auch nicht. Ehrlich gesagt. Bei einigen Sachen befolge auch ich einfach die Regeln und frage nicht nach, warum. Ich weiß nichtmal, warum schriftliche Division funktioniert.

LiquidAcid

Ich glaube wenn man anfängt da zu viele Fragen zu stellen dann ist man ganz schnell bei der Frage warum denn Eins und Eins zusammen Zwei ergeben und damit bei den Peano Axiomen, die nunmal Axiome sind. Irgendwo muss man ja schliesslich mal was definieren, sonst kann das ja nix werden.

Also nicht so viel drüber nachdecken Mis2com

cya
liquid

WebFritzi

LiquidAcid schrieb:

Ich glaube wenn man anfängt da zu viele Fragen zu stellen dann ist man ganz schnell bei der Frage warum denn Eins und Eins zusammen Zwei ergeben und damit bei den Peano Axiomen, die nunmal Axiome sind.

So ein Schwachfug... Missis Frage ist sicher ganz einfach mit elementarer Zahlentheorie bzw. Algebra zu beantworten.

SG1

WebFritzi schrieb:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2
-(x^3 -  x^2)
--------------
        4x^2

Das ist doch schon falsch, oder? -5 - (-1) = -5+4 = -4 und nicht +4.

WebFritzi

SG1 schrieb:

Das ist doch schon falsch, oder? -5 - (-1) = -5+1 = -4 und nicht +4.

Oh Gott, du hast recht. Wie konnte mir nur ein solch dummer Fehler unterlaufen... Asche auf mein Haupt! Hab's jetzt oben editiert.

Mis2com

Ups, ja dann nochmal neu:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2 + 6x - 4
-(x^3 -  x^2)
--------------
        6x^2 + 2x
      -(6x^2 - 6x)
      -------------
             -4x + 2
           -(-4x + 4)
            ---------
                 -2 + 0
...

Hum, also warum dies?

Wahrscheinlich hat das Polynom nicht 3 gerade Nullstellen (angenommen es hätte 3 reelle).

MfG MAV

absolute_beginner

Mis2com schrieb:

Ups, ja dann nochmal neu:
(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2 + 6x - 4
-(x^3 -  x^2)
--------------
        6x^2 + 2x
Hum, also warum dies?

Wahrscheinlich hat das Polynom nicht 3 gerade Nullstellen (angenommen es hätte 3 reelle).

MfG MAV

Warum denn 6x^2 in der ersten Zeile unter dem Polynom? -5x^2 -(-x^2) ergibt immer noch -4x^2.

Mis2com

*grummel*

Ich sollte mich wirklich mal ein wenig konzentrieren...

*schaltet Hirn ein*

Also nochmal:

(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) : (x-1) = x^2 - 4x - 2
-(x^3 -  x^2)
--------------
      -4x^2 + 2x
    -(-4x^2 + 4x)
     ------------
             -2x + 2
           -(-2x + 2)
           -------------
               0

Schön, also habe ich:
(x^3 - 5x^2 + 2x + 2) = (x^2 - 4x - 2)(x-1)

Hm, jetzt kann ich das mit der pq-Formel lösen:

x_1;2 = 2 +/- sqrt(4 + 2)
= 2 +/- sqrt(6)
x_1;2 = {4,45; -0,45}

x_1;2;3 = {1; 4,45; -0,45}

Korrekt...
Aber was, wenn man jetzt kein Polynom hat, das so eine schöne, runde Nullstelle hat?
Das bringt einem dann doch gar nichts, gerade bei Anwendungsaufgaben hat man doch nicht die Möglichkeit das einzusehen...

Hm, wenn man so ein Polynom ableitet, dann...

bekommt man lediglich die Scheitelpunkte, ok...

Gut, dann mal danke.

WebFritzi

Mis2com schrieb:

Aber was, wenn man jetzt kein Polynom hat, das so eine schöne, runde Nullstelle hat?
Das bringt einem dann doch gar nichts, gerade bei Anwendungsaufgaben hat man doch nicht die Möglichkeit das einzusehen...

Man wendet dann normalerweise numerische Verfahren wie z.B. das Newtonverfahren an. Und das geht so: Man nimmt sich irgendeinen x-Wert. Dann berechnet man die Tangente an den Polynomgraphen bei diesem x-Wert und findet den Schnittpunkt derer mit der x-Achse raus. Dieser x-Wert wird dann i.A. eine bessere Näherung an eine Nullstelle sein als der erste. Aber Achtung: Das funzt nicht mit jedem beliebigen Anfangswert.

Mis2com

Hm, also wie beim Wurzelziehen... wie ich solche Annäherungen hasse...

WebFritzi

Mis2com schrieb:

Hm, also wie beim Wurzelziehen...

Genau, da wird auch das Newtonverfahren angewendet. In diesem Fall kommt das Newtonverfahren sogar mit jedem Startwert ans Ziel.

Mis2com

Find ich fei doof solche Annäherungsverfahren

WebFritzi

Das solltest du als "Computer-Liebhaber" aber nicht sagen.