Polynome 3. Grades lösen?
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Hi,
wie löst man Polynome 3. oder allgemein auch n. Grades auf?
Kann mir das kurz jemand anhand eines einfachen Beispiels verdeutlichen?
Den Satz von Viëta verwendet man da doch, soweit ich weiß, oder?Falls ja, setzt den einfach mal als bekannt voraus, also fände ich nett.
MfG MAV
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Was meinst du mit: Polynome auflösen? Ich für meinen Teil kann nur Gleichungen
auflösen
Du meinst wahrscheinlich Gleichungen der Form
Polynom vom Grad n P_n(x) = 0
n <= 2 sollte dir klar sein.
Für n > 2 kann man versuchen, die Gleichung auf den Fall n <= 2 zurück zu führen
(Substitution, x ausklammern), was nicht immer geht.
Es gibt auch eine Formel für n=3, aber die ist ein solches mathem. Monster, dass
man solche Dinger vermeidet wo es nur geht. In Übungsaufgaben kann man dann meist
raten oder durch geschicktes Nachdenken das Problem lösen, in der Praxis greift
man auf numerische Verfahren zurück.
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Ich hoffe ich verstehe das richtig:
x²+ax+b
kannst du ja mit der pq-Formel (http://www.net-lexikon.de/Pq-Formel.html) lösen.Bei einer Gleichung wie
x^3 - 7x² +36 = 0kann man jetzt durch eine Polynomdivision (http://home.t-online.de/home/arndt.bruenner/mathe/9/polynomdivision.htm#bsp)
auf diese Form bringen und dann nachher die x-Ergebnisse einsetzen.
Man muss dabei durch (x-irgend_eine_Nullstelle) teilen.x^3 - 7x² +36 = 0
hat bei x=-2 eine Nullstelle also lautet die Aufgabe:x^3 - 7x² +36 : (x+2)
-------------
Bei Gleichungen mit x^4 muss man das x² durch u ersetzen, das nennt sich dann Substituieren.
Genauer erklären kann ich jetzt leider nicht...
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Hab gerade noch mal nachgeschaut, die Formel für kubische Gleichungen heißt
Cardanosche Formel, Google spuckt dazu zBhttp://sebastian.offermann.bei.t-online.de/facharbeit/cardanoschemax.jpg
das aus. Soviel zum mathematischen Monster.
Wichtig dazu ist noch der Fundamtelsatz der Algebra:
Eine Gleichung der Form P_n(x) = 0 hat höchstens n reele Lösungen bzw.
eine Gleichung der Form P_n(x) = 0 hat genau n complexe Lösungen.
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@Münzbieger: Das Substituieren funktioniert aber nur, wenn Du keine ungeraden Potenzen von x in der Gleichung drin hast. Sonst nützt Dir das nämlich garnichts.
@all:
Es gibt auch noch eine allgemeine Lösung für Polynome 4. Grades... und die ist sicher nicht kürzer als die dritten Grades.
Ab dem 5. Grad kann es ein solches Lösungsverfahren prinzipiell nicht mehr geben. Es gibt Polynome 5. Grades, deren Nullstellen sich nicht als endliche Wurzeln, Summen, Produkte etc. von Bruchzahlen schreiben lassen.
Der Beweis dazu ist allerdings sehr kompliziert.MfG Jester
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Ich denke, zu diesem Thema wäre ein FAQ-Thread gut, oder? Wer hat Bock, das mal zusammenzufassen?
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Es gibt schon einen ähnlichen FAQ-Eintrag unter "Linearfaktorenzerlegung":
http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic.php?t=55014
vielleicht könnte man den noch ein bisschen erweitern oder evt. den Titel ändern.
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Oh ja. Jesters Beitrg am Ende reicht da vollkommen aus. Wie wär's mit dem Titel "Linearfaktoren und Nullstellen von Polynomen"?
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Hm, aber ich weiß jetzt immer noch nicht, wie man so vorgehen soll...
Anscheinend braucht man für Polynomdivision ja schon eine Nullstelle...?
Und wie kommt man dann an die?
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Mis2com schrieb:
Anscheinend braucht man für Polynomdivision ja schon eine Nullstelle...?
Genau so ist das!
Mis2com schrieb:
Und wie kommt man dann an die?
Da hilft nur eins: Raten! In der Schule sind die Aufgaben eh immer so gestellt, dass man raten kann. Meistens ist -2, -1, 0, 1 oder 2 schon der erste richtige Rater.
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Raten, um sowas aufzulösen?
Geht echt nicht anders?Raten ist ja doof...
Hmmm, aber die Formel klappt doch auch, ohne dass irgendwas geraten werden muss, oder?
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Mis2com schrieb:
Hmmm, aber die Formel klappt doch auch, ohne dass irgendwas geraten werden muss, oder?
Ja, aber dann musst Du die Formel Deinem Mathe-Lehrer erklaeren - viel Spass
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Welche Formel meinst du überhaupt?
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Die Cardano-Formel, welche sonst?
@all:
Besondere wünsche, was wie in die FAQ mit rein soll?
MfG Jester
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Hm, also man braucht eine Nullstelle und kann dann sämtliche Lösungen dadurch berechnen?
Z.B. hier:5x^3 + x^2 - 6x = 0
Nullstelle ist hier bei x = 1.
Also Polynomdivision:
/ (x - 1) ?
Und wenn, wie würde man dann überhaupt das teilen?
Bei jedem Summanden das geteilt hinschreiben und dann ... hm
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Ansatz ist korrekt. In der FAQ steht ein Beispiel.
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Sehr gut, ich sehe mir das sofort mal an.
EDIT:
Hmmm, irgendwie kapiere ich die Polynomdivision nicht
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Funktioniert im Prinzip genauso wie schriftliches dividieren.
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Und wo ist der Unterschied?
Ich meine, ignoriert man die Exponenten oder wie?
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Nein, gerade die sind doch wichtig:
Ein Beispiel:
x^2 + 4x + 4 : x + 2Jetzt teilst Du einfach x^2 durch x + 2; das Ergebnis ist x.
x^2 + 4x + 4 : x + 2 = x -(x^2 + 2x) ----------- 0 + 2x + 4Jetzt teilst Du 2x + 4 durch x + 2; das Ergebnis ist 2.
x^2 + 4x + 4 : x + 2 = x + 2 -(x^2 + 2x) ----------- 0 + 2x + 4 -(2x + 4) --------- 0Die Exponenten sind sehr wichtig; die Subtraktion uner Nichtbeachtung der Potenz von x ist eine der häufigsten Fehlerquellen.
