Abstand eines Punktes innerhalb einer Pyramide..
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Hi,
Angenommen ich habe eine senkrechte quadratische Pyramide gegeben; von der ich nur weiß, dass die Quadratseiten und die Pyramidenhöhe jeweils 6 m betragen.
Jetzt will man wissen welcher Punkt im Inneren der Pyramide von der Grundfläche (also dem Quadrat) und den Seitenflächen der Pyramide genau denselben Abstand hat.Da das ganze ohne Koordinatensystem gegeben war habe ich einfach ein Koordinatensystem "eingführt" dessen Ursprung im Mittelpunkt M der Grundfläche liegt. Dadurch habe ich dann 4 Eckpunkte (der Grundfläche) und die Spitze (der Pyramide) als Punkte: A(3|-3|0) B(3|3|0) C(-3|3|0) D(-3|-3|0) und Spitze S(0|0|6)
Davon ausgehend habe ich dann die Ebene der Grundfläche in Normalenform (bzw Hesseform) aufgestellt: E: [ x - (3|-3|0) ] * (0|0|1) = 0
Weiterhin habe ich mir überlegt dass der Punkt auf jeden Fall auf einer Ebene die durch den Mittelpunkt geht liegen muss, deshalb habe ich folgende Hilfsebene aufgestellt: H: [ x - (0|0|1) ] * (0|1|0) = 0
(Die Ebene liegt also senkrecht auf der Grundfläche)Das ist mein bisheriger Ansatz. Ist dieser jetzt totaler Quatsch, oder soweit richtig und wenn ja wie muss ich dann weiter vorgehen ?
Thx im vorraus...
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Hmm... *nachobenschieb*
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Überleg dir nochmal genau, wo ein Punkt liegen muss, der von allen 4 Seitenflächen genau den selben Abstand hat.... Das ist ne Gerade. Überleg dir mal, welche das sein muss.
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Ja das wäre eben die Gerade die durch den Mittelpunkt(also Ursprung) und durch die Spitze geht, sprich g:x = (0|0|0) + t*(0|0|6) in Parameterform. Also so gesehen ist meine Hilfsebene umsosnt, da die Gerade ja eh drin liegt.
Jeder Punkt auf dieser Gerade hat den gleichen Abstand zu jeweils allen 4 Seitenflächen. Aber jetzt kommt ja noch hinzu dass ein Punkt eben genau denselben Abstand zu den Seitenflächen UND der Grundfläche haben muss...
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Tja, dann nimmste dir einfach einen Punkt P(0, 0, z) mit z zwischen 0 und 6 und rechnest den Abstand d(P,E) zu einer der Seitenflächen in Abhängigkeit von z aus. Diese Seitenfläche kannst du dabei als Ebene betrachten. Dieser Abstand ist dann also der, den P zu allen Seitenflächen hat, da ja P zu allen Seitenflächen den gleichen Abstand hat. Dann überlegst du dir noch, welchen Abstand P zu der Grundfläche hat und stellst eine Gleichung auf, die leicht zu lösen ist.
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Ah, ok
Vielen dank