4. Goniometrische Gleichung

Goniometrische Gleichung

  • B

    Hallo ihr!

    Ich brauche mal eure Hilfe...
    ...und zwar geht es um das Lösen von goniometrischen Gleichungen ohne Taschenrechner.

    Folgende Gleichung ist gegeben:
    2∗sin(14∗X)=12 * \sin \left (\frac{1}{4}* X \right) = 1
    Die Lösungsmenge lautet dafür:

    L1=(2π3+k∗2π∣k∈Z)L_1 = \left( \frac{2\pi}{3} + k * 2\pi | k \in Z \right)
    L2=(π3+(2k+1)∗π∣k∈Z)L_2 = \left( \frac{\pi}{3} + (2k + 1) *\pi | k \in Z\right)

    L=L_1∪L_2L = L\_1 \cup{} L\_2

    Ich weiß nun beim bessten Willen nicht, wie man auf die Lösungsmengen kommt. Das lösen geht laut Aufgabenstellung ohne Taschenrechner...
    Ich weiß auch gar nicht, wie ich an die Lösung herrangehen muss. Zuerst durch 2 dividieren, oder nur den Grafen vorstellen und dann die Nullstellen ablesen...
    Ist es vielleicht hilfreich, wenn man weiß, dass sin (90°) = 1 ist.

    Viele Grüße und bessten Dank

    Michael

    0
  • ?

    Sowas löst du am Besten durch Substitution.
    Also:
    1. sin(0.25x) = 0.5
    2. z = (0.25    x)
    3. also :sin(z) = 0.5
    4. Ins Tafelwerk schauen -> sin(Pi/6) = 0.5 UND sin(5Pi/6) = 0.5
    5. also ist z1 = (Pi/6) ;z2 = (5    Pi/6)
    6. fuer z1: 0.25*x = (Pi/6); -->> x = ((Pi/6)/0.25); --- x= Pi*2 / 3 ---

    k ist ein ganzahliger Wert, der verdeutlichen soll, dass sich die Periode alle 2*Pi wiederholt

    PS. Sorry fuer die Dezimalbrüche 😉

    0
  • B

    Erstmal Danke!!!

    Wie komme ich denn jetzt aber auf die 2. Lösungsmenge?

    0,25 * x = 5Pi/6
    x=5Pi/6 *4/1 = 20PI/6 = 3/1/3 *Pi

    Das sieht mir nicht nach der 2. Lösung aus!

    0
  • F

    burki schrieb:

    Hallo ihr!
    Die Lösungsmenge lautet dafür:

    L1=(2π3+k∗2π∣k∈Z)L_1 = \left( \frac{2\pi}{3} + k * 2\pi | k \in Z \right)
    L2=(π3+(2k+1)∗π∣k∈Z)L_2 = \left( \frac{\pi}{3} + (2k + 1) *\pi | k \in Z\right)

    Michael

    Die Lösungsmenge ist falsch. Es muss lauten

    L1=(2π3+8k∗π∣k∈Z)L_1 = \left( \frac{2\pi}{3} + 8k * \pi | k \in Z \right)
    L2=(10π3+8k∗π∣k∈Z)L_2 = \left(\frac{10\pi}{3} + 8k *\pi | k \in Z\right)

    Viele Grüße

    0
  • B

    [quote="Fischi"]

    burki schrieb:

    Die Lösungsmenge ist falsch. Es muss lauten

    Bist du dir sicher???
    Die Lösungen sind schon hinten im Buch mit angegeben. Nur der Lösungsweg eben nicht. Wäre mein L2 eine Lösung für die Aufgabe:

    tan2X=3\tan 2X = \sqrt{3}

    Im Buch könnten sich ja Druckfehler eingeschlichen haben...

    0
  • F

    burki schrieb:

    Bist du dir sicher???

    Ja, da hat wohl jemand vergessen das 2k*pi mit 4 zu multiplizieren.
    Kannst du auch ganz leicht ausprobieren.
    Zum Beispiel für Lösung 1.
    Setze k = 1, dann sollte

    2sin((8/3pi)/4) = 1 sein
    Mein TR sagt aber
    2    sin((8/3pi)/4) = 3^0.5

    L2 ist zwar Lösung von tan2X = 3^0.5. Allerdings ist L2 dann nicht vollständig.

    Viele Grüße
    Fischi

    0
  • B

    Ahha, Danke!

    Woran erkennt man denn, dass man das 2k*pi mit 4 multiplizieren muss?
    Liegt es daran, dass da 1/4 vor dem x steht? Das 1/4 bewirkt ja, dass die Funktion gestreckt wird.

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