[Verständnisproblem] Lösung eines Eigensystems

LiquidAcid

Tachen,

Es geht um die Lösung von Eigensystemen, genauer gesagt um die Extraktion der Eigenvektoren aus einer symmetrischen 3x3 Matrix.

Die Extraktion der Eigenwerte funktioniert soweit schonmal, aber ich habe gewisse Verständnisprobleme was das Paper angeht. Und zwar...

spricht Eberly ja davon, dass eine symmetrische 3x3 Matrix es immer zulässt 3 Eigenwerte + die dazugehörigen Eigenvektoren zu extrahieren. Weiterhin sagt er, dass sich die Eigenwerte nicht notwendigweise unterscheiden müssen ("are not necessarily distinct"). Dann sagt er noch aus, dass die Eigenvektoren ein orthogonales System bilden.

Soweit so gut, nur bereitet mir "Case 1", "Case 2" und "Case 3" massive Probleme. Ich bin jetzt soweit, dass ich Eigenwerte der Matrix habe und dazu noch die Anzahl der Werte (also wieviele unterschiedliche er extrahieren konnte).

Aber was meint er jetzt mit "multiplicity" ? Ich habe das nachgeschlagen und in dem Kontext wird es wohl Vielfalt heissen. Verstehe ich das jetzt richtig, dass die Vielfalt der Eigenwerte entscheidend ist?

Nehmen wir mal an ich löse das charakteristische Polynom des Eigensystems und bekomme eine Lösung raus, was für eine Vielfalt hat der Eigenwert dann? Eins oder drei (da er ja für die anderen zwei Eigenwerte mitgilt, plus sich selber = 3)????

Eberly sagt ja anfangs, dass man sich merken sollte ob das Polynom nur eine Lösung hat, da dann A = λ * I gegeben ist. Derselbe Ausdruck taucht im "Case 3: λ has multiplicity of 3." noch einmal auf. Gehe ich jetzt richtig in der Annahme dass eine Lösung des Polynoms "multiplicity of 3" bedeutet?

Dazu kommt noch, dass ich bei "Case 1" nicht so recht begreife woher denn jetzt die zwei anderen Eigenvektor kommen. Ein Eigenvektor wird ja berechnet, aber ich brauche für ein orthogonales System doch drei Stück (dazu sagt Eberly ja noch am Anfang, dass es bei einer symmetrische 3x3 Matrix immer drei gibt) - wo also sind die 2 anderen abgeblieben.

Ich bin mir sicher, dass ich da irgendwas übersehen habe oder gründlich falsch verstehe, anders kann ich mir das nicht vorstellen. Vielleicht bringt mir hier einer der Mathecracks ein wenig Erleuchtung.
Danke schonmal für mögliche Antworten!

cya
liquid

Jester

multiplicity ist in diesem Fall mit Vielfachheit zu übersetzen. Es geht dabei darum, wievielfache Nullstelle λ im charakteristischen Polynom ist. Dementsprechend groß ist nämlich die Dimension des zugehörigen Eigenraums.

Es gibt für die Eigenräume nur 3 Möglichkeiten: sie sind 1,2 oder 3 dimensional. Wenn der Eigenraum zum Eigenwert λ 3-dimensional ist, dann ist es der volle Raum, damit ist jeder Vektor dort Eigenvektor und die Matrix ist λ*I.

Ist die Vielfachheit 1, dann ist der zugehörige Eigenraum eindimensional, das heißt, Du bekommst nur einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert.

Bei 2 bekommst Du eben 2 Eigenvektoren zum EW λ. Die beiden mußt Du dann orthogonal wählen, wenn Du eine orthogonale Eigenvektorbasis suchst.

MfG Jester

Fischi

Beispiel:

Folgende Matrix sei dir gegeben:

\left( \begin{array}{*{3}{c}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} \right)

Berechnen der folgende Determinante für auf das charakeristische Polynom

(EDIT: Vorzeichenfehler beseitigt)

det\left( \begin{array}{*{3}{c}} \lambda - 2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda - 2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda - 2 \\ \end{array} \right) =\left( \lambda-2 \right)^3-1-1-3 \left( \lambda - 2 \right)

Substituiere lambda - 2 mit x
Also
$x^3 - 3x - 2$
Die Nullstellen davon sind -1,2,-1
Also ist

$\lambda\_1 = \lambda \_2 = 1, \lambda_3 = 4$

Dies sind die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms.
Also die Eigenwerte der Matrix.
Dabei kommt 1 also Eigenwert zweimal vor.

Jetzt müssen die zu den Eigenwerten zugeordneten Eigenräume berechnet werden.
Die Rechnung ist nur das Lösen eines Lin. GLS.

\left( \begin{array}{*{3}{c}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{*{1}{c}} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)= 4 \left( \begin{array}{*{1}{c}} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)

Das führt dann auf:

\begin{array}{*{7}{c}} -2x & + & y & + & z & = & 0 \\ & \- & 3y & + & 3z & = & 0 \\ & \+ & 3y & - & 3z & = & 0 \\ \end{array}

Damit bekommt man einen eindimensionalen Eigenraum zu Eigenwert 4.
und zwar:
E_\lambda_4 = \left\{(x,y,z)|x=y=z\right\}

Genauso rechnet man den Raum für Eigenwert 1 aus:

\left( \begin{array}{*{3}{c}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{*{1}{c}} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)= 1 \left( \begin{array}{*{1}{c}} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)

Das führt dann auf:

\begin{array}{*{7}{c}} x & + & y & + & z & = & 0 \\ x & + & y & + & z & = & 0 \\ x & + & y & + & z & = & 0 \\ \end{array}

Damit bekommt man einen 2-Dimensionalen Eigenraum zu Eigenwert 1.
und zwar:
E_\lambda_1 = \left\{(x,y,z)|x=-(y+z) y,z\in R \right\}

Jetzt muss man sich nur noch eine orthonormale Basis zusammenbasteln.
Aus dem ersten Eigenraum kann man sich

\frac{1}{\sqrt{3}}\left( \begin{array}{*{1}{c}} 1\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right)

nehmen. Welchen Vektor man zuerst nimmt ist egal, wichtig ist nur dass er Betrag 1 hat.

Der Zweite Eigenraum hat Dimension 2, gibt also zwei Basisvektoren her!
z.B.

\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{*{1}{c}} 1\\ -1\\ 0\\ \end{array} \right)

und

\frac{1}{\sqrt{6}}\left( \begin{array}{*{1}{c}} 1\\ 1\\ -2\\ \end{array} \right)

Diese sind jetzt orthogonal und bilden ein ON - Basis im R^3.

In dieser Basis sollte die ursprüngliche Matrix jetzt Diagonalgestalt haben mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonale. Das kann man auch nachrechnen
in dem man die Übergangsmatrix aufstellt:

\left( \begin{array}{*{3}{c}} \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \end{array} \right)* \left( \begin{array}{*{3}{c}} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\\ \end{array} \right)*\left( \begin{array}{*{3}{c}} \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \end{array} \right)^T=\left( \begin{array}{*{3}{c}} 4 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right)

Hoffe dass ich mich nirgends verrechnet habe.

Viele Grüße
Fischi

SG1

Fischi schrieb:

Beispiel:

Folgende Matrix sei dir gegeben:
\left( \begin{array}{*{3}{c}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} \right)
Berechnen der folgende Determinante für auf das charakeristische Polynom
det\left( \begin{array}{*{3}{c}} \lambda - 2 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda - 2 \\ \end{array} \right) =\left( \lambda-2 \right)^3-1-1-3 \left( \lambda - 2 \right)
[...]

Hoffe dass ich mich nirgends verrechnet habe.

Da hats Dir das Vorzeichen verdreht. Das charakteristische Polynom ist det(A - tE) oder det(tE - A), aber nicht beide Formen mischen.

Fischi

SG1 schrieb:

Da hats Dir das Vorzeichen verdreht. Das charakteristische Polynom ist det(A - tE) oder det(tE - A), aber nicht beide Formen mischen.

Danke, ich habs gleich korrigiert.
Ich hatte aber nur beim Eintragen das Vorzeichen vergessen, die restliche
Rechnung sollte also stimmen.

Viele Grüße
Fischi

LiquidAcid

Erstmal dickes Thx an euch beide, dass ihr euch die Mühe gemacht habt das alles zu tippen. Ich glaube jetzt habe ich das Thema auch wesentlich besser begriffen.

cya
liquid

mal ne frage: wie macht ihr hier diese bilder rein???

SG1

http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic.php?t=56799