4. Tangente an den Graphen

Tangente an den Graphen

  • I

    Folgendes Problem kann ich leider nicht lösen, da mir der Lösungsansatz fehlt.

    Bestimmen Sie alle b€R für die man vom Punkt P(0/b) Tangenten an den Graph von f legen kann.

    f(x)=(lnx-1)2

    Ich hab da schon was mit dem Differenzenquotienten und der ersten Ableitung probiert, aber leider hats nicht geklappt.

    Wär cool, wenn mir jemand beim Ansatz helfen könnte.
    Falls es wer ganz durchrechnen will:
    f'(x)=2/x2/x(lnx-1)

    Gruß Ingmar

    0
  • M

    Hm, die Ableitung von:

    f(x) = (x)^2

    ist:

    f(x)' = 2(x)

    0
  • T

    Wenn ich das jetzt richtig verstanden hab:

    Sei t die gesuchte Tangente mit t(x) = mx + c
Dann muss gelten: (1) t(0) = b und (2) t'(x1) = f'(x1), wobei x1 € |R die 
Berührstelle
von f und t ist.

    Willst du weiter machen oder soll ich? 🙂

    0
  • I

    oder soll ich?

    ja bitte

    0
  • T
     

    (1) Mit t(0) = b folgt c = b
(2) t'(x1) = f'(x1) => m = 2 / x1 * ln(x1 - 1)

Damit haben die gesuchten Tangenten die Form t(x) = [2 / x1 * ln(x1 - 1)] * x + b

    Bist du dir sicher, dass nicht gegeben ist, wo die Tangente f berührt? Dann
    bekäme man noch x1 aus t raus. So hängt t sowohl von b als auch von x1 ab.

    0
  • I

    Nein, ist leider nicht gegeben, die Tangentengleichung ist ja auch nachrangig, solange man die entsprechenden Punkte in Abhängigkeit von b findet.

    Die Umformungen sind mir jetzt soweit klar (danke dafür), nur ich finde man kann keine besondere aussage über den parameter b machen, oder übersehe ich da was?

    0
  • T

    Was für Aussagen hast du denn erwartet?

    0
  • I

    Naja, jedenfalls nicht b=c, denn das bei einem Punkt P(0/b), von dem aus eine Tangente gelegt wird b der y-Achsenabschnitt ist, ist einsichtig. Ich denke doch die Aufgabenstellung erwartet eine Menge aller b, für die man die Tangente an den Graph legen kann.

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  • T

    Ich seh auch gerade: f' ist falsch. Es muss natürlich f'(x) = 2*ln(x-1)/(x-1)
    heißen.

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  • T

    Und ausserdem hab ich die Aufgabe falsch gelesen, sry. Neuer Ansatz:

    Tangentengleichung: t(x) = f'(x1) * (x - x1) + f(x1)
                         = f'(x1) * x - f'(x1) * x1 + f(x1)

=> t(0) = - f'(x1) * x1 + f(x1) = b

Jetzt musst du nur noch den Wertebereich der Funktion g(x) := - f'(x) * x + f(x)
ausrechnen, dann kennst du alle b.
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  • I

    ahh, das mit dem Wertebereich is natürlich ne Idee 🙄 hatte vermutet man müsste es irgendwie durch Auflösen bekommen.

    die Aufgabe wird mir immer unheimlicher

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  • W

    Das geht doch ganz einfach. Die allgemeine Tangentengleichung der Tangente an der Stelle x0 ist

    t(x)=f′(x_0)(x−x_0)+f(x0)t(x) = f'(x\_0) (x-x\_0) + f(x_0)

    Mit

    f(x)=(lnx−1)2f(x) = (\ln x - 1)^2

    in D=R+∖{0}D = \mathbf{R}^+\setminus\{0\} und

    f′(x)=2lnx−1xf'(x) = 2\frac{\ln x - 1}{x}

    ist

    t(x)=(lnx_0−1)(2x−x_0x_0+lnx_0−1)t(x) = (\ln x\_0 - 1)\biggl( 2\frac{x-x\_0}{x\_0} + \ln x\_0 - 1 \biggr)

    also

    t(0)=(lnx_0−1)(lnx_0−3)t(0) = (\ln x\_0 - 1)(\ln x\_0 - 3)

    So. Und jetzt sei b irgendeine reelle Zahl. Setze t(0) = b. Dies ist eine quadratische Gleichung, die nach lnx0\ln x_0 aufgelöst 2±b+12\pm\sqrt{b+1} ergibt, also x0=e2±b+1x_0 = e^{2\pm\sqrt{b+1}}. Die Wurzel in dieser Lösung ist aber nur für b≥−1b\ge -1 definiert. Also ist die Lösung der Aufgabe b≥−1b\ge -1.

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