Tangente an den Graphen

Taurin

Wenn ich das jetzt richtig verstanden hab:

Sei t die gesuchte Tangente mit t(x) = mx + c
Dann muss gelten: (1) t(0) = b und (2) t'(x1) = f'(x1), wobei x1 € |R die 
Berührstelle
von f und t ist.

Willst du weiter machen oder soll ich?

Ingmar

oder soll ich?

ja bitte

Taurin

(1) Mit t(0) = b folgt c = b
(2) t'(x1) = f'(x1) => m = 2 / x1 * ln(x1 - 1)

Damit haben die gesuchten Tangenten die Form t(x) = [2 / x1 * ln(x1 - 1)] * x + b

Bist du dir sicher, dass nicht gegeben ist, wo die Tangente f berührt? Dann
bekäme man noch x1 aus t raus. So hängt t sowohl von b als auch von x1 ab.

Ingmar

Nein, ist leider nicht gegeben, die Tangentengleichung ist ja auch nachrangig, solange man die entsprechenden Punkte in Abhängigkeit von b findet.

Die Umformungen sind mir jetzt soweit klar (danke dafür), nur ich finde man kann keine besondere aussage über den parameter b machen, oder übersehe ich da was?

Taurin

Was für Aussagen hast du denn erwartet?

Ingmar

Naja, jedenfalls nicht b=c, denn das bei einem Punkt P(0/b), von dem aus eine Tangente gelegt wird b der y-Achsenabschnitt ist, ist einsichtig. Ich denke doch die Aufgabenstellung erwartet eine Menge aller b, für die man die Tangente an den Graph legen kann.

Taurin

Ich seh auch gerade: f' ist falsch. Es muss natürlich f'(x) = 2*ln(x-1)/(x-1)
heißen.

Taurin

Und ausserdem hab ich die Aufgabe falsch gelesen, sry. Neuer Ansatz:

Tangentengleichung: t(x) = f'(x1) * (x - x1) + f(x1)
                         = f'(x1) * x - f'(x1) * x1 + f(x1)

=> t(0) = - f'(x1) * x1 + f(x1) = b

Jetzt musst du nur noch den Wertebereich der Funktion g(x) := - f'(x) * x + f(x)
ausrechnen, dann kennst du alle b.

Ingmar

ahh, das mit dem Wertebereich is natürlich ne Idee hatte vermutet man müsste es irgendwie durch Auflösen bekommen.

die Aufgabe wird mir immer unheimlicher

WebFritzi

Das geht doch ganz einfach. Die allgemeine Tangentengleichung der Tangente an der Stelle x₀ ist

$t(x) = f'(x\_0) (x-x\_0) + f(x_0)$

Mit

$f(x) = (\ln x - 1)^2$

in $D = \mathbf{R}^+\setminus\{0\}$ und

$f'(x) = 2\frac{\ln x - 1}{x}$

ist

$t(x) = (\ln x\_0 - 1)\biggl( 2\frac{x-x\_0}{x\_0} + \ln x\_0 - 1 \biggr)$

also

$t(0) = (\ln x\_0 - 1)(\ln x\_0 - 3)$

So. Und jetzt sei b irgendeine reelle Zahl. Setze t(0) = b. Dies ist eine quadratische Gleichung, die nach $\ln x_0$ aufgelöst $2\pm\sqrt{b+1}$ ergibt, also $x_0 = e^{2\pm\sqrt{b+1}}$ . Die Wurzel in dieser Lösung ist aber nur für $b\ge -1$ definiert. Also ist die Lösung der Aufgabe $b\ge -1$ .