komplexe Gleichung lösen

[Zickedi]

$z = (1 + i)^i$
Mir fehlt schon der Ansatz.
Wenn ich logarithmiere, komme ich nicht weiter...

[Floh]

mein matheprog spuckt mir $z = 0,4288 + 0,1549i$ aus, werd mal versuchen heraus zu kriegen wie das analytisch geht

[Floh]

so, ich denke ich habe eine lösung, viel spaß damit

falls nicht bekannt, hier nochmal die exponentialform von komplexen zahlen:

z=\rho*e^i^\phi

mit dem betrag $\rho$ und dem argument (winkel) $\phi$. es gilt hier also

z = (1+i)^i = (\sqrt{2}*e^i^\pi^/^4)^i

so weit, so gut. eine allgemeine exponentialfunktion kann man wie folgt darstellen

a^x = e^x^l^n^a

jetzt sollte man noch wissen wie man den logarithmus einer komplexen zahl ausrechnet, das geht so:

$lnz = ln\rho + i*\phi$

so jetzt ham wirs auch gleich geschafft. das ursprüngliche problem kann man also auch so schreiben

z = (1+i)^i = (\sqrt{2}\*e^i^\pi^/^4)^i = e^i^\*^(^l^n^\sqrt{2}+i\pi/4)

ausmultipliziert und umgestellt kommt man auf

z = e^i^*^l^n^\sqrt{2}-\pi/4

also haben wir eine neue komplexe zahl mit dem betrag $\rho = e^\ -\pi/4$ und dem argument $\phi = ln\sqrt{2}$

[WebFritzi]

Sehr schön, Floh. Aber du solltest deine Fehler mal berichtigen. Was du da schreibst, ist größtenteils Dönches. Nur das Ergebnis stimmt.

[Floh]

thx für den hinweis, aber das "größtenteil" find ich schon etwas übertrieben...

war mein erster kontakt mit latex, da kann man schon mal ein paar klammern und ein hoch i vergessen