eine papierrolle

wie berechnet man die länge des papieres auf einer papierrole wie das pild unten zeigt

http://www.erhardt-leimer.com/e/images/l_papierrolle.jpg

Bashar

Indem man die Längen der einzelnen Lagen addiert würd ich sagen. Ich lege folgendes Modell zugrunde: Innen befindet sich ein Zylinder mit dem Radius R. Legt man eine Lage darum, hat man wieder einen Zylinder, diesmal mit dem Radius R + d (d = Dicke des Papiers + evtl. Luftspalt). Durch Induktion folgt also, dass die Rolle aus lauter Zylindern besteht. Die Gesamtlänge ist nun
$\sum_{i=0}^{N-1} 2\pi(R+di) = 2\pi(NR + d\sum_{i=0}^{N-1}i) = 2\pi(NR + \frac{d(N-1)N}{2})$
Man muss natürlich irgendwie N und d bestimmen, helfen könnte dabei $Nd = R_a - R$ . Bessere Modelle vor!

BTW kann es gut sein, dass ich mich verrechnet habe.

WebFritzi

Heraus kommt

$\frac{\pi l}{d} (R^2-r^2) + \pi l (R-r)$

wobei r der innere, R der äußere Radius, $l$ die Länge der Rolle (also die Tiefe) und d die Dicke des Papieres ist. Ich erkläre später noch, warum. Wenn jedenfalls d sehr klein ist, kann man den zweiten Summanden vernachlässigen.

Abbadon

gelöscht

Taurin

WebFritzi, dein Ergebnis ist aber von der Dimension her eine Fläche, gefragt
ist nach einer Länge. Da kann was nicht stimmen.

Bashar

Webfritzi: Was willst du immer mit l, es ist doch die Länge des Papiers gesucht, nicht die Fläche. BTW gut dass du editiert hast, ich war schon dabei das zu zerreißen

WebFritzi

Ahso, OK. Das, was ich berechnet habe, ist die Fläche des langen Papierstreifens. Was ich mit l meine, habe ich bereits gesagt: die Tiefe der Rolle. Wenn man nun die Länge des aufgerollten Papierstreifens will, dann muss man eben in meiner Formel durch l teilen. Ist das so schwierig?

WebFritzi

OK, hier der Weg, wie ich zur Lösung komme. Es sei d die Dicke des Papiers, n die Anzahl der Lagen, r der kleine und R der große Radius. Man überlegt sich zunächst leicht, dass R = r + n * d. Setze $r_k = r + kd$ für k = 1,\dots, n. Wenn ihr euch mal den Querschnitt des ganzen aufmalt, seht ihr, dass dies der Radius für k Lagen ist. Die Länge des durch das Papier entstehenden Kreises in der k-ten Lage ist $l\_k = 2\pi r\_k$ . Also ist die gewünschte Länge zu berechnen durch

$\begin{eqnarray*} l &=& \sum_{k=1}^n l_k\\ &=& \sum_{k=1}^n 2\pi r_k\\ &=& 2\pi \sum_{k=1}^n r_k\\ &=& 2\pi \sum_{k=1}^n (r+kd)\\ &=& 2\pi (\sum_{k=1}^n r + \sum_{k=1}^n kd)\\ &=& 2\pi (nr + d\sum_{k=1}^n k)\\ &=& 2\pi (nr + dn(n+1)/2)\\ &=& \pi n(2r + d(n+1))\\ \end{eqnarray*}

Aus R = r + n * d folgt $n = (R-r)/d$ . Damit gilt

$\begin{eqnarray*} l &=& \pi \frac{R-r}{d} \biggl( 2r + d \frac{R-r+d}{d} \biggr)\\ &=& \pi \frac{R-r}{d} ( 2r + R - r + d )\\ &=& \frac{\pi(R-r)}{d} ((R+r)+d)\\ &=& \frac{\pi}{d}(R^2-r^2) + \pi (R-r) \end{eqnarray*}

Für die Fläche des Papiers muss man eben noch mit der Tiefe der Rolle multiplizieren (Breite des Papiers). Dann bekommt man die Formel von oben.
Leichter rechnen lässt sich natürlich mit der Formel

$l = \pi (R-r) \frac{R+r+d}{d}$

Aber in der ersten Formel sieht man besser, was passiert, wenn $d\longrightarrow 0$ .

ich danke