ggT, euklidische Ringe
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vieleicht gibts ja hier noch jemanden der wach ist und Ahnung von Mathe hat...
Ich sitz grad an folgender Aufgabe:
R: euklidischer Ring
(a1,a2,...,an) aus R^n ungleich (0,0,..0)
Zu zeigen: es ex. r1,r2,...,rn aus R, so dass d=a1*r1+a2*r2+...+an*rn einn ggT von a1,a2,...,an ist.Hat jemand ne Idee wie man das macht? Mit meinen Ideen bin ich bis jetzt nur in Sackgassen gelandet.
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wieso antwortet denn niemand????
Ich bin aber glaube ich jetzt auch ohne Hilfe auf eine Lösung gekommen.
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Gilt in einem Ring das Distributivgesetz? Wenn ja, dann könntest du zuerst beweisen, dass
{\rm ggT}(a\_1,\dots,a\_n) = {\rm ggT}({\rm ggT}(a\_1,\dots,a\_{n-1}), a_n)
und dann vollständige Induktion und den Satz von Bézout benutzen.
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so ähnlich hab ichs gemacht
aber man kann nicht beweisen, dass
{\rm ggT}(a\_1,\dots,a\_n) = {\rm ggT}({\rm ggT}(a\_1,\dots,a\_{n-1}), a_n)
weils nicht stimmt.
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Abbadon schrieb:
wieso antwortet denn niemand????
Boah, das nenn ich mal ungeduldig!
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Abbadon schrieb:
aber man kann nicht beweisen, dass
{\rm ggT}(a\_1,\dots,a\_n) = {\rm ggT}({\rm ggT}(a\_1,\dots,a\_{n-1}), a_n)
weils nicht stimmt.Nicht? Dann gib mir mal ein Gegenbeispiel.
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Das das nicht stimmt war jetzt vieleicht übertrieben. Ich hätte besser sagen sollen, dass nach meiner def. vom ggT keinen Sinn macht, da der ggT eine Menge ist.
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Abbadon schrieb:
da der ggT eine Menge ist.
WAS???? Bist du sicher, dass du da nicht falsch denkst? Für mich ist
{\rm ggT}(a\_1,\dots,a\_n) := \max\{t\in\mathbb{N}: t \;\;{\rm teilt}\;\;a\_1,\dots,a\_n\}{\rm .}
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Also meine Definition vom ggT geht etwa so:
$ sei $R$ Integritaetsbereich\\ $a\_1, a\_2, ..., a_n \in R$\\ $x \in ggT(a\_1,...,a\_n)$ genau dann wenn $x|a\_1,x|a\_2,...,x|a\_n$ und\\ $( v \in R, v|a\_1,...,v|a_n \Rightarrow v|x)$Wie macht man Umlaute in latex?
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Abbadon schrieb:
Wie macht man Umlaute in latex?
Entweder \usepackage[latin1]{inputenc} und normal ausschreiben oder man stellt ein " vor den Vokal. Also "a für ä usw.
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MaSTaH schrieb:
Abbadon schrieb:
Wie macht man Umlaute in latex?
Entweder \usepackage[latin1]{inputenc} und normal ausschreiben oder man stellt ein " vor den Vokal. Also "a für ä usw.
Dafür braucht man aber wieder \usepackage{german}. Wenn man ganz ohne Pakete auskommen will, schreibt man eben \"a für ein ä.
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Abbadon schrieb:
Also meine Definition vom ggT geht etwa so:
$ sei $R$ Integritaetsbereich\\ $a\_1, a\_2, ..., a_n \in R$\\ $x \in ggT(a\_1,...,a\_n)$ genau dann wenn $x|a\_1,x|a\_2,...,x|a\_n$ und\\ $( v \in R, v|a\_1,...,v|a_n \Rightarrow v|x)$Ja, hatte ganz vergessen, dass es sich allgemein um einen Ring handelt, und davon habe ich nicht so viel Ahnung. Deine Definition sieht aber gut aus.
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Jupp. Die Definition benutzen wir auch in unseren Diskreten Mathe Vorlesung.
Für ganze Zahlen definiert stellt man dann fest, dass sich zwei ggT's zu gleichen
Zahlennur durch das Vorzeichen unterscheiden können.
Wir haben dann definiert:(a1, a2, ... an) := positive Lösung von ggT(a1, a2, ... an) mit a1,..an ganze Zahlen.
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Und für ganzen Zahlen ist die Definition äquivalent zu meiner.
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Hallo!
Euklidische Ringe sind Hauptidealringe.
Damit ex. d sodaß (a1,...,an) = (d) (damit meine ich das von a1...an erzeugte Ideal.
Also ist d in (a1,...,an) und damit ist es auch als "Kombination" dieser Elemente darstellbar.MfG Jester
(der zur Zeit kein Inet hat und daher nur selten hier ist)edit: man muß natürlich noch beweisen, daß d ein ggT ist, aber das sollte nicht allzu schwer sein.
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Taurin schrieb:
Für ganze Zahlen definiert stellt man dann fest, dass sich zwei ggT's zu gleichen Zahlennur durch das Vorzeichen unterscheiden können.
In nullteilerfreien Ringen gilt:
zwei ggTs unterscheiden sich nur um eine Einheit. Also um ein invertierbares Element.
Denn d1,d2 beide ggT von a,b => d1 | d2, d2 | d1 => Es ex. e1, e2: d2=e1*d1, d1= e2*d2
Ein setzen liefert:
d2 = e1*e2*d2 <=> (1-e1*e2)*d2 = 0
ist d2 != 0 und der Ring nullteilerfrei, dann folgt jetzt: 1-e1*e2 = 0 <=> e1*e2=1 und damit sind sowohl e1, also auch e2 invertierbar und d1,d2 unterscheiden sich nur um eine Einheit (=invertierbares Element)
MfG Jester