4. Differenzengleichung aufstellen PT1

Differenzengleichung aufstellen PT1

  • E

    Hmpf... Ich wollte "mal eben" die Differenzengleichung für ein PT1-Glied aufstellen und mit der so gewonnenen rekursiven Formel die diskreten Sprungantwort-Werte zu berechen. Aber irgendwie klappt das alles nicht 😡

    Also für G(s)=1/(T*s+1)
    habe ich die z-Transformierte 0.477 * (z+1)/(z-exp(-0.1)) bestimmt.
    (Abtastzeit = 0.1 s / t = 1s)

    Daraus die Diffgl. yn=0.477 * (xn+xn-1)+exp(-0.1)*yn-1
    Lasse ich das für die ersten hundet Werte durchlaufen sieht auch alles ganz gut aus, sogar die Zeitkonstante scheint zu stimmen (63% vom Endwert bei T erreicht). Aber der Endwert stimmt nicht 😡 Für einen Einheitssprung (konstente 1 als x) bekomme ich als Endwert ca 10 😡 Alle möglichen anderen Kombinationen aus T und Abtastzeit liefern teilweise noch krummere, absurdere Werte. Was mache ich falsch ? 😡

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  • B

    etechniker schrieb:

    Daraus die Diffgl. yn=0.477 * (xn+xn-1)+exp(-0.1)*yn-1

    Also das ist keine DGL sondern die eher die Übergangsfunktion im Zeitbereich.

    Kleines Beispiel: sollte dir als "etechniker" bekannt vorkommen 😉

    RC-Glied oder Stromkreis mit Spannnungsquelle U_q, Widerstand R und Kondensator C:
    Anfangsbedingung: $$U_C(t=0) = 0$$ Kondensator komplett entladen

    Maschengleichung: $$U_q = U_R + U_C = i \cdot R + u_c = C \cdot \frac{du_c}{dt} \cdot R + u_c $$
    oder schöner geschrieben: $$ U_q = RC \cdot \frac{du_c}{dt} + u_c $$

    die DGL in den Laplacebereich transformiert ergibt:

    RCs⋅U_C(s)+U_C(s)=Uq(s)RC s\cdot U\_C(s) + U\_C(s) = U_q(s)

    Umgestellt nach der gesuchten Größe, Spannung am Kondensator:
    U_C(s)=U_q(s)RC⋅s+1U\_C(s) = \frac{U\_q(s)}{RC \cdot s + 1}

    Rücktransformation in den Zeitbereich:
    u_C(t)=U_q(1−e−t/(RC))u\_C(t) = U\_q(1 - e^{-t/(RC)})

    und schon hast du deine Lösung der DGL im Zeitbereich bei einem Sprung am Eingang.

    Ich hoffe, es hilft dir ein wenig weiter...
    Gruß bais

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  • E

    Nein, das hilft mir nicht weiter. Ich schrieb ja auch nicht DGL (Differentialgelichung), sondern Differenzengleichung. Das ist etwas anderes. Daraus möchte ich einen rekursiven Algorithmus bekommen, mittels dessen ich diskrete Ausgangswerte berechnen kann auf Grund diskreter Eingangswerte. Die Spungantwort war nur ein Beispiel und zum Testen, nachher sollen beliebige Eingangssignale möglich sein. Das ganze könnte man auch Digitalfilter nennen.

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  • B

    naja, "Diffgl." heißt für mich DGL, egal...

    mit Digitalfiltern kenn ich mich überhaupt nicht, ist nicht so ganz mein Gebiet in der E-Technik 😉

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  • E

    bais schrieb:

    naja, "Diffgl." heißt für mich DGL, egal...

    mit Digitalfiltern kenn ich mich überhaupt nicht, ist nicht so ganz mein Gebiet in der E-Technik 😉

    Normal schon, aber nicht wenn ich darüber von "Differenzengleichung" spreche 😉
    Naja, ich habs jetzt auch. Leider nicht so wie ich wollte über die aus der Laplace Transformierten gebildetete z-Transformierte, sondern bin nun von der DGL (diesmal in deinem Sinne 😉 ) ausgegangen.

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  • B

    ups, mein Fehler, das hab ich doch glatt überlesen 🤡

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