Stammfunktion...

geeky

Kann mir mal wer vorrechnen wie man auf die Stammfunktion von
f(x)=(-0,5*x^2 -2*x) / ((0,5*x+1)^2)
kommt ?

Jester

Polynom division, den Rest abspalten, mal nach ner passenden Stammfunktion in der Formelsammlung suchen (arcsin oder arctan oder sowas in der Art), dann ein paar kleine Substitutionen und fertig.

Ne, einfacher:
Substituiere: u = 0.5x+1 --> x = 2(u-1) --> du = 0.5 dx

-> integral((-0.5x^2-2x) / ((0.5x+1)^2))dx
= integral((-(u-1)^2 - 2(u-1)) / (u^2))du
= integral((-u^2 + 1) / (u^2))du
= -integral(1)du + integral(1/u^2)du
= -u - 1/u = -(u^2+1)/u
= -(0.25x^2 + x + 2)/(0.5x + 1)

Taurin

Ne, einfacher:
Substituiere: u = 0.5x+1 --> x = 2(u-1) --> du = 0.5 dx

-> integral((-0.5x^2-2x) / ((0.5x+1)^2))dx

= integral((-(u-1)^2 - 2(u-1)) / (u^2))du

Da ist was schief gelaufen beim Einsetzen. Schau dir das noch mal an.

substitution mit u=0,5x+1 ist schon ganz gut
erg: int( (-x(u+2))/u^2 )du
x tritt jetzt als "konstante" auf und kann vor das integral gezogen werden
F(u)= -xint( (u+2)/u^2 )du
das ganze geht jetzt mit partieller integration schön einfach:
F(u)=-x( (u+2)(-1/2u)- int(1 (-1/2u) )du
<=> F(u)=-x*( (u+2)(-1/2u) -( -(1/2)ln(u) ) )
die sub. rückgängig machen:
F(x)=-x((0,5x+3)(-1/(x+2)+ln(0,5x+1)/2)+c
und schon haben wir eine schar an stammfunktionen

ich könnte mich natürlich auch irren

Anonym schrieb:

x tritt jetzt als "konstante" auf und kann vor das integral gezogen werden

x hängt von u ab und ist somit nicht konstant, wenn nach du integriert wird.

Taurin schrieb:

Da ist was schief gelaufen beim Einsetzen. Schau dir das noch mal an.

Stimmt, habe du und dx vertauscht beim einsetzen. Hier nochmal:

Substituiere: u = 0.5x+1 --> x = 2(u-1) --> dx = 2 du
-> integral((-0.5x^2-2x) / ((0.5x+1)^2))dx
= integral((-0.5(2(u-1))^2 - 2(2(u-1))) / (u^2)) 2 du
= - integral((4(u^2-2u+1) + 8(u-1)) / (u^2))du
= - integral((4u^2-4) / (u^2))du
= integral(4)du - integral(4/u^2)du
= 4u + 4/u
= 4 (1 + u^2) / u
= 4 (1 + (0.5x+1)^2) / (0.5x+1)
= (x^2 + 4x + / (0.5x+1)

Das müsste jetzt hoffentlich stimmen.

Taurin

Das sieht gut aus. Man kann jetzt noch - wenn man beim Auflösen des Integrals
ein +C mitführt - das ganze noch weiter vereinfachen:

... = -2x - 8 / (x+1) - 4 + C
    = -2x - 8 / (x+1) + K

Dann siehts noch hübscher aus.