Extremalprobleme: Hessematrix definit?
-
Hallo!
Kann mir einer ein einfaches (!
) Verfahren erklären, wie man aus der Hessematrix bestimmt, ob sie positiv definit, negativ definit, positiv semidefinit, negativ semidefinit oder indefinit ist?
-
Bei symmetischen Matrizen (die Hesse-Matrix ist nach dem Satz von Schwarz im R^n oder C^n symmetisch) kannst du eventuell die Folge der Hauptminoren dieser Matrix zur Hilfe ziehen.
Die Matrix ist positiv definit, wenn für alle Hauptminoren von Ak gilt, dass det |Ak| > 0.
Die Matrix ist negativ definit, wenn für alle Hauptminoren von Ak gilt, dass (-1)^k * det|Ak| > 0.
Ansonsten ist sie indefinit.
-
http://miss.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node60.html
hier ist das was Filopher erwähnte schön mit Beispielen erklärtDeterminante kannst du z.b. so ausrechnen http://www.fun-soft.de/showtopic.php?threadid=3071&time=1085849704
-
\LaTeX$$ braucht die welt...
-
Danke schon mal. Das mit positiv definit und negativ definit ist so weit klar. Was ich aber jetzt noch nicht weiß ist, wann die Matrix semidefinit ist und vor allem, ob sie dann pos. oder neg. definit ist.
Das mit der Quadratischen Form der Matrix ist mir nicht ganz klar. Was wird denn da gemacht?
Und kann man so sagen, dass die Matrix indefinit ist, wenn die Determinante von det |A2| < 0 ist (für 2 reihige Matrizen)?
-
Wie die quadratische Form einer Matrix bestimmt wird, wird ja in dem Link im oberen Teil angegeben. Du multiplizierst einfach von links mit einem transponierten Vektor und von rechts mit dem entsprechenden Spaltenvektor.
Nun kannst du mit Hilfe dieser Form die Definitheit der Matrix bestimmen. Dieses Vorgehen ist allerdings aus algorithmischer Perspektive mehr als unglücklich, denn du müsstest zeigen, dass für jeden beliebigen Vektor immer eine positive bzw. negative Zahl als Lösung der quadratischen Form herauskommt. Nun kannst du in einem Algorithmus aber nur eine begrenzte Anzahl von Vektoren durchgehen, wenn du zu einem Ende gelangen möchtest. Damit wird der Algorithmus höchstens Semi-entscheidbar für Indefinitheit.
Aus diesem Grund würde ich das Vorgehen mit der Determinatenberechnung bevorzugen. Die Semidefinitheit ist allerdings bei größeren Matrixen recht aufwändig zu bestimmen, denn da müssen statt der Hauptminoren (fangen immer beim Eintrag a_11 an) die allgemeinen Hauptminoren bestimmt werden, die in beliebigen Diagonalelementen anfangen und aufhören können (so aber immer quadratisch sind).
-
Löhmann schrieb:
Und kann man so sagen, dass die Matrix indefinit ist, wenn die Determinante von det |A2| < 0 ist (für 2 reihige Matrizen)?
ja.
-
Zusätzlich zum Kriterium der Hauptminoren ist für symmetrische reelle Matrizen folgendes Äquivalent zur positiv definitheit:
Der Gauß-Algorithmus mit Diagonalstrategie läuft durch und es gilt für die Pivotelemente a_k > 0.
Alle Eigentwerte sind positiv.
Es existiert eine Cholesky Zerlegung wobei die Hauptdiagonalelemente c_i>0 sind.
Entsprechende Kriterien für negativ definitheit findest du sicher über google.
-
Filopher schrieb:
Aus diesem Grund würde ich das Vorgehen mit der Determinatenberechnung bevorzugen. Die Semidefinitheit ist allerdings bei größeren Matrixen recht aufwändig zu bestimmen, denn da müssen statt der Hauptminoren (fangen immer beim Eintrag a_11 an) die allgemeinen Hauptminoren bestimmt werden, die in beliebigen Diagonalelementen anfangen und aufhören können (so aber immer quadratisch sind).
Wir berechnen im allgemeinen nur 2-Reihige Matrizen.
Sehe ich das jetzt richtig, dass ein Hauptminor eine Unterdeterminate ist? D.h. in einer zweireihigen Matrix sind die Hauptminoren folgende:
1. a_11
2. a_11 * a_22 - a_12 * a_21Und was sind dann allgemeine Hauptminoren?
Wenn ich das richtig verstanden habe folgende:
1. a_11
2. a_11 * a_22 - a_12 * a_21
3. a_12
4. a_21
5. a_12 * a_21 - a_11 * a_22
6. a_22