A = B diag(1,2,3,4) B^-1

Hi,

ich habe ein kleines Problem. Ich habe die Eigenwerte einer Matrix berechnet. Nun soll ich eine Matrix B so konstruieren, dass gilt:

A=B~\operatorname{diag}(\lambda\_1,\lambda\_2,\lambda\_3,\lambda\_4)~B^{-1}

Die Eigenwerte lauten $\lambda\_1=1,\lambda\_2=2,\lambda\_3=3,\lambda\_4=4$ die Matrix:

A=\left[ \begin {array}{cccc} 3&0&0&0\\\noalign{\medskip}1&4&0&0 \\\noalign{\medskip}1&1&1&0\\\noalign{\medskip}0&1&1&2\end {array} \right]

Ich finde aber irgendwie keinen Ansatz. Wäre schön, wenn mir jemand mit dem Verständnis auf die Sprünge helfen könnte.

Grüße

Jester

Stichwort: Basiswechsel

Du machst folgendes: Du bestimmst die Basis, bezüglich der A=diag(...)
Und genau die ist dann B (oder B^-1).
Was Du daurch nämlich machst: Du drückst neue Basis in der Standardbasis aus. Wenn Du jetzt B*diag*B^-1 rechnest dann kommt genau A heraus, weil Du von der Standardbasis mit B^-1 in die Eigenvektorbasis transformierst, dann mit der Matrix multiplizierst, die hier aber diagonal ist und anschließend gehst Du mit B zurück in die Standardbasis.
MfG Jester

Danke Jester!

Den Begriff der Basis, bzw. deren Bestimmung haben wir noch nicht eingeführt, allerdings denke ich, dass ich weiß was damit gemeint ist. Ich werde mich erstmal durch mein Buch beißen um die Bestimmung einer Basis zu verstehen und dann vielleicht nochmal nachfragen.

Grüße

Kurze Frage: Ist es eigentlich egal, ob ich bei der Bestimmung von Eigenvektoren, bzw. bei dem Aufstellen der charakteristischen Gleichung $(A-\lambda I)$ oder $(\lambda I - A)$ verwende. Das wird nämlich je nach Buch anders gemacht und im Script völlig durcheinander geworfen.

SG1

Ist egal. Die beiden Terme unterscheiden sich (wenn überhaupt) um den Faktor -1. Dadurch ändern sich die Nullstellen aber nicht, und nur die interessieren ja.

SG1 schrieb:

Ist egal. Die beiden Terme unterscheiden sich (wenn überhaupt) um den Faktor -1. Dadurch ändern sich die Nullstellen aber nicht, und nur die interessieren ja.

Aber bei der Bestimmung der Eigenvektoren etc. ( $(A-\lambda I)v=0$ vs. $(\lambda I-A)v=0$ ) kann auch nichts schief gehen? Im Script ist das völlig durcheinander.

Schon gut... Ist ja wieder das selbe. Die Nullstellen ändern sich ja nicht. War wieder etwas vorschnell. Danke SG1!