Funktion

[michaelwitzik]

Hallo, ich habe eine e - Funktion:

y = e-e^(tx)

und von dieser am Schnittpunkt mit der y Achse (Sy = e-1) die Tangente und die Normale gebildet. Diese beiden schneiden die x-Achse und man erhält eine Strecke AB zwischen den Nullstellen der Tangente und der Normale. Zum Berechnen der Strecke habe ich eine Funktion ermittelt, indem ich die Nullstelle der Tangente minus der Normale gerechnet habe, sie erhält als Parameter t, welches die Nullstellen beeinflusst:

$y = ((e-1)/t )-t*e-t$

Jetzt soll bestimmt werden für welches t in der Hauptfunktion diese Strecke minimal wird, also habe ich die Ableitung berechnet:
$y' = ((-e-1)/t^2)-e-1$

Soweit stimmt alles hundertprozent, jetzt setzte ich die Ableitung oben gleich null um die Funktion auf Extrempunkte zu prüfen, t ist dabei x, für welches man einen Wert ermitteln soll, für den die oben besprochene Strecke null wird. Es kommt heraus das t = -1 sein muss damit die Strecke minimal wird, in der Aufgabenstellung steht aber t>0, d.h. diese Lösung ist falsch, was muss ich dann hier als Lösung angeben?

Danke
Michael

[Abbadon]

Also die bedingung ist, dass t>0? Und für t=1 ist die Strecke nicht minimal? Und du bist dir ganz sicher, dass du alles richtig gerechnet hast?

Dann musst du gucken wie sich die Funktion am Rand verhält, also t->0 und t->unendlich.

[Abbadon]

Der Abstand ist immer positiv, also müsste die funktion genaugenommen
y=|((e-1)/t)-t*e-t|
heißen.

Jetzt setz mal für y 0 ein und lös nach t auf, dann hast du die Stellen an denen der Abstand 0, also minimal, ist.

irgendwas stimmt da nicht... da kommt wirklich was raus, das würde ja bedeuten, dass sich die normale und die tangente auf der x Achse also im Ursprung schneiden, also müsste die Funktion auch durch den Ursprung gehen, macht sie aber nicht, egal wie man t wählt.

deine ableitung ist auch nicht richtig.

[michaelwitzik]

Also die Funktion für den Abstand stimmt, hat unser Lehrer sogar bestätigt, und die Ableitung stimmt ja nun auch wenn man nur mal die Quotientenregel benutzt. Und die Ableitung wird meines Erachtens nur bei $t^2 = -1$ null, denn nur da kürzt sich das e-1 weg und es bleibt null übrig. Wenn du nach t auflöst bleibt am Ende stehen:

$t^2 = -1$

Und soviel ich weiß käme da ne imaginäre Zahl raus, oder? Also nix Sinnvolles.

Und wie meinst du das mit im Ursprung schneiden? Die Tangente und die Normale schneiden wie ganz oben gesagt im Punkt y = e-1, also dem Schnittpunkt mit der y-Achse der Hauptfunktion.

Die Ableitung ist so richtig:

$y' = (-(e-1)/t^2)-e-1$

[Abbadon]

Also ich komme auf eine andere Funktion für den Abstand:
$abstand(t)=\left|\frac{e-1}{t}+\frac{1}{t(e-1)}\right|$

Den Betrag kann man auch weglassen, da das für t>0 sowieso immer positiv ist.

Die Tangente schneidet sich natürlich im Punkt (0,e-1) mit der Normalen, aber wenn man in deiner gleichen für y 0 einsetzt und dann nach t auflöst bekommt man einen (positiven) Wert für t raus. Das heisst man kann t so wählen, dass der Abstand 0 ist, also würden sich die Tangente und die Normale irgendwo auf der x-Achse schneiden. Wenn deine funktion richtig ist schneiden sich für dieses t die geraden also 2 mal. Geraden die Senkrecht aufeinander liegen tun sowas aber nicht.

[michaelwitzik]

Ach, egal, ich hab noch ne andere Frage, und zwar will ich die folgende Funktion differenzieren:

$y = (1-x^2)/(2-x)$

laut Kettenregel komme ich auf den Zwischenschritt:

$((-x) * (2-x) - (1-x^2) * (-1)) / (2-x)^2$

und zusammengefasst auf:

$(-2x+1) / (2-x)^2$

doch das stimmt net, irgendwie bin ich heut blöd, kann mir wer sagen wo der Fehler ist?

[Abbadon]

michaelwitzik schrieb:

laut Kettenregel komme ich auf den Zwischenschritt:

$((-x) * (2-x) - (1-x^2) * (-1)) / (2-x)^2$

Du hast die 2 vergessen:

$\frac{(-2x) * (2-x) - (1-x^2) * (-1)}{(2-x)^2}$

[michaelwitzik]

Jo, hatte es inzwischen auch gemerkt, trotzdem Danke, hab wohl heut zuviel Mathe gemacht da wird man mit der Zeit wahnsinnig.....