Zwei Probleme bei einer Aufgabe (lineare Abbildungen)...
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Hi,
ich brüte gerade über meinem aktuellen Matheblatt und komme bei folgender Aufgabe teilweise nicht weiter. Vielleicht kann mir ja jemand einen Tip geben?
Wir betrachten den Vektorraum V=C([0;1];\mathbb{R}) unter der Norm \|f\|_\infty =\max_{x\in [0,1]}|f(x)|,~f\in V. Zu jedem bezeichne
\[u\_f(x):=\int\_0^xt\,f(t)\,dt,\hspace{15pt}x\in [0,1]\]$. a) Zeigen sie, daß die Abbildung $L: V\rightarrow V: f\mapsto u_f$ linear und stetig ist (**habe ich gezeigt**). b) Untersuchen sie L auf Surjektivität und Injektivität (*wie?*). c) Es seien $f\in V$ und $\lambda\in\mathbb{R}$ so, daß $Lf=\lambda f$ gilt. Folgern sie daraus $x\,f(x)=\lambda\, f'(x)$ für alle $x\in[0,1]$ (**habe ich gezeigt**). d) Bestimmen sie die reellen Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von L (*wie?*).Ja, das sind die Aufgabenteile. Die a) und die c) habe ich relativ schnell nachweisen können, aber an der b) und der d) beißt sich momentan unser ganzer Kurs die Zähne aus, weil keinem ein vernünftiger Ansatz einfällt. Kann sein, dass Dienstag in der nächsten Vorlesung die Erleuchtung kommt, aber solange kann ich eigentlich nicht warten, weil ich das Blatt noch vor Sonntag fertig haben will. Wäre toll wenn mir jemand einen Ansatz verraten kann
.Gruß,
Christian
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MaSTaH schrieb:
\[u\_f(x):=\int\_0^xt\,f(t)\,dt,\hspace{15pt}x\in [0,1]\]$. b) Untersuchen sie L auf Surjektivität und Injektivität (*wie?*).
zur Injektivität:
\par gelte\,u\_f = u\_g\hspace{15pt}z.z.:\,f=g \par u\_f=\int\_0^xt\,f(t)\,dt=\int\_0^xt\,g(t)\,dt=u\_g \Rightarrow t\,f(t)=t\,g(t) \forall t \par \Rightarrow f(t)=g(t) \forall t \Rightarrow f=g \Rightarrow injektivHoffe, ich habe da jetzt nichts durcheinandergebracht.
Vielleicht hilfts ja?!?Und sorry für die schlechte Formatierung, müßte mich mal vernünftig mit LaTeX auseinandersetzen
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zur Surjektivität:
\par z.z.:\,\forall u\in V\exists f \in V: Lf=u \par w\"ahle\, u = 0\, auf\, [0,1/2]\, u = x - 1/2\, auf\,[1/2,1]So, und nun versuche, eine Fkt aus V zu finden, so daß Lf=u.
Wäre so meine erste Idee, ob das was bringt
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Auf den ersten Blick für Aufgabe (d):
In (c) hast du gezeigt (beachte den Zusammenhang mit Eigenvektoren)
Damit gilt
Das ist ne hübsche Differentialgleichung mit der Lösung
f(x) = \frac{C}{\lambda} e^{\frac{x^2}{2}
wobei C eine Konstante ist.Hilfts weiter ?
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Hi,
erstmal ein großes Danke an euch. Ich werde mich jetzt mal dran setzen und schauen was ich damit anfangen kann. Hoffentlich verstehe ich alles
.Gruß,
Christian