Richtungsableitung
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Hab ne Frage zu Richtungsableitung:
Was bedeutet der Wert ?
Ich bekomme z.B. einen Wert von -7,8 heraus.Muss man davon eigentlich den Betrag nehmen oder passt das Ergebnis.
Mein Bsp.:
Kreisförmige Platte mit Temperaturfunktion:
Im Punkt (1, 2) bestimmen der Richtungsableitung in Richtung des Gradienten.
Dort ist ja immer der steilste Anstieg zu vermuten, was auch passt.
Da kommt dann -7,8 raus.
Bitte um Aufklärung.
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\[ T(x, y) = \frac {64}{x^2 + y^2 + 2} \] \[ T(r)= \frac {64}{r^2 + 2} \] \[ \Rightarrow \frac {\partial T} {\partial \vec{c}} = \vec{e\_r} \frac{\partial T} {\partial r} = - \vec{e\_r} \frac{128r}{(r^2+2)^2} \] \[ r = \sqrt 5 \Rightarrow \frac {\partial T} {\partial \vec{c}} = -5.8 \vec{e_r} \]Die Richtungsableitung ist ein Maß für die Stärke, mit der T in Richtung er vom Pkt. c=(1,2) aus steigt.
Aber wahrscheinlich habe ich mich verrechnet. Wie kommst du auf -7.8?
P.S.: LaTeX ist echt anstrengend!
P.P.S.: Vektoranalysis auch!
[Vorzeichenfehler verbessert]
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Also Aufgabe war folgendermaßen:
Die Temperatur einer beheizten kreisförmigen Platte sei in jedem Punkt (x, y) gegeben durch T(x,y) = ... Bestimmen sie die Änderung der Temp. im Punkt (1,2) in Richtung der Strecke, die mit der x-Achse einen Winkel von 60° einschließt. In welcher Richtung ist der Anstieg der Temp. am steilsten ?Der Einheitsvektor ist dann:
\overarrow{e_v} = \frac{1}{2}{1 \choose \sqrt{3}}Dann bekomme ich in Richtung von 60° eine Ableitung von -5,83
und in Richtung des Gradienten von -7,84.
Aber wieso Minus?Oder vertausche ich da was ?
Ich kriege ja auch -5,8 raus.
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Zickedi schrieb:
Also Aufgabe war folgendermaßen:
Die Temperatur einer beheizten kreisförmigen Platte sei in jedem Punkt (x, y) gegeben durch T(x,y) = ... Bestimmen sie die Änderung der Temp. im Punkt (1,2) in Richtung der Strecke, die mit der x-Achse einen Winkel von 60° einschließt. In welcher Richtung ist der Anstieg der Temp. am steilsten ?Achso, die Informationen fehlten mir natürlich, habe aber meinen Schmierzettel eben ordnungsgemäß entsorgt... Aber: Da die Funktion T nur abhängig vom Abstand zum Ursprung ist und die Äquipotentialflächen somit Kreise sind, kann man direkt sagen, wo der Anstieg der Temp. am steilsten ist (der Gradient steht immer senkrecht auf den Äquipotentialflächen...).
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Schmierzettel eben ordnungsgemäß entsorgt...
Dann findest ihn bestimmt wieder auf dem Altpapierstapel *g
Hab ich dann falsch gerechnet, da die Ableitung in Richtung des Gradienten bei mir ja kleiner ist (= -7,83) als die andere Ableitung (= -5,83) ?
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Zickedi schrieb:
Hab ich dann falsch gerechnet, da die Ableitung in Richtung des Gradienten bei mir ja kleiner ist (= -7,83) als die andere Ableitung (= -5,83) ?
Trotzdem ist hier ja die Ableitung in Richtung des Gradienten steiler (also vom Betrage her größer) als die andere Ableitung!
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Achso, dann nimmt man immer den Betrag davon.
Dann passt das ja.